Задание 24 · часть 2 · 2 балла · про

В треугольнике с тупым углом проведены высоты, докажите подобие: задание 24 ОГЭ по математике

При тупом угле основания высот лежат на продолжениях сторон, это надо написать. Первое подобие: два прямоугольных треугольника с вертикальными углами при тупой вершине. Из него получи пропорцию и переставь её члены. Второе подобие: стороны пропорциональны, а углы между ними вертикальные. Для высот BM и AR при тупом угле C: подобие BMC и ARC даёт $\frac{C M}{C R} = \frac{C B}{C A}$ , отсюда $\frac{C M}{C B} = \frac{C R}{C A}$ , а угол MCR вертикален углу BCA.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: высоты тупоугольного треугольника и подобие

Обоснуй, где лежат основания высот при тупом угле.
Докажи подобие двух прямоугольных треугольников по острому углу.
Переставь члены пропорции.
Докажи нужное подобие по двум сторонам и углу между ними.

Где ошибаются. Путают соответствие вершин в первом подобии. В BMC прямой угол M, в ARC прямой угол R, значит, M соответствует R, а B соответствует A. Иной порядок даёт неверную пропорцию.

Как проверить ответ. Проверь пропорцию $\frac{C M}{C R} = \frac{C B}{C A}$ : CM и CR лежат против равных острых углов, CB и CA гипотенузы. Во втором подобии угол между CM и CR вертикален углу BCA.

Правило

Если

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}

и углы между этими сторонами равны, треугольники подобны.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Подобие треугольников в доказательствах.

Прототипы банка ФИПИ: B35E5A, 2FEF51, A57F97

Примеры с решением

Пример 1

В треугольнике

P Q R

с тупым углом

Q P R

проведены высоты

Q E

R O

. Докажите, что треугольники

E P O

Q P R

подобны.

Ответ и решение

1Угол $QP R$ тупой, поэтому основания высот $E$ и $O$ лежат на продолжениях сторон $P R$ и $P Q$ за точку $P$ .
2Треугольники $QP E$ и $R P O$ прямоугольные: $∠ QE P = ∠ R O P = 9 0^{\circ}$ . Углы $QP E$ и $R P O$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $QP E$ и $R P O$ подобны по двум углам, и $\frac{P E}{P O} = \frac{P Q}{P R}$ .
3Из этой пропорции $\frac{P E}{P Q} = \frac{P O}{P R}$ .
4Углы $E P O$ и $QP R$ равны как вертикальные, а стороны $P E$ , $P O$ треугольника $E P O$ пропорциональны сторонам $P Q$ , $P R$ треугольника $P QR$ . Значит, треугольники $E P O$ и $QP R$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пример 2

В треугольнике

M N K

с тупым углом

N M K

проведены высоты

N P

K O

. Докажите, что треугольники

P M O

N M K

подобны.

Ответ и решение

1Угол $N M K$ тупой, поэтому основания высот $P$ и $O$ лежат на продолжениях сторон $M K$ и $M N$ за точку $M$ .
2Треугольники $N M P$ и $K M O$ прямоугольные: $∠ N P M = ∠ K O M = 9 0^{\circ}$ . Углы $N M P$ и $K M O$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $N M P$ и $K M O$ подобны по двум углам, и $\frac{M P}{M O} = \frac{M N}{M K}$ .
3Из этой пропорции $\frac{M P}{M N} = \frac{M O}{M K}$ .
4Углы $P M O$ и $N M K$ равны как вертикальные, а стороны $M P$ , $M O$ треугольника $P M O$ пропорциональны сторонам $M N$ , $M K$ треугольника $M N K$ . Значит, треугольники $P M O$ и $N M K$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пример 3

В треугольнике

A B C

с тупым углом

B C A

проведены высоты

B R

A K

. Докажите, что треугольники

R C K

B C A

подобны.

Ответ и решение

1Угол $B C A$ тупой, поэтому основания высот $R$ и $K$ лежат на продолжениях сторон $A C$ и $B C$ за точку $C$ .
2Треугольники $B C R$ и $A C K$ прямоугольные: $∠ B R C = ∠ A K C = 9 0^{\circ}$ . Углы $B C R$ и $A C K$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $B C R$ и $A C K$ подобны по двум углам, и $\frac{C R}{C K} = \frac{B C}{A C}$ .
3Из этой пропорции $\frac{C R}{B C} = \frac{C K}{A C}$ .
4Углы $R C K$ и $B C A$ равны как вертикальные, а стороны $C R$ , $C K$ треугольника $R C K$ пропорциональны сторонам $B C$ , $A C$ треугольника $A B C$ . Значит, треугольники $R C K$ и $B C A$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)