Задание 24 · часть 2 · 2 балла · про

Два угла выпуклого четырёхугольника равны, докажите равенство других углов: задание 24 ОГЭ по математике

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются: обозначь точку и напиши, почему она существует. Треугольники с данными равными углами подобны ещё и по вертикальным углам. Из подобия получи пропорцию, переставь её и докажи подобие второй пары треугольников по двум сторонам и углу. Соответственные углы второй пары и есть искомые. Для KLMN с точкой O пересечения KM и LN: из подобия MON и LOK $\frac{O M}{O L} = \frac{O N}{O K}$ , то есть $\frac{O M}{O N} = \frac{O L}{O K}$ , и треугольники MOL и NOK подобны.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: равные углы в выпуклом четырёхугольнике

Обозначь точку пересечения диагоналей.
Докажи подобие первой пары треугольников по двум углам.
Переставь члены пропорции.
Докажи подобие второй пары и выпиши равные углы.

Где ошибаются. Во второй паре берут не тот угол. Стороны OM, OL и ON, OK заключают углы MOL и NOK, они вертикальные. Углы MON и LOK лежат не между этими сторонами.

Как проверить ответ. Выпиши обе пары треугольников и для каждой назови признак: первая по двум углам, вторая по двум сторонам и углу между ними. В конце сверь найденные углы с вопросом.

Правило

Если

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}

и углы между этими сторонами равны, треугольники подобны.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Подобие треугольников в доказательствах.

Прототипы банка ФИПИ: 613B4F, 367109, 1F1A22, 3AA429

Примеры с решением

Пример 1

В выпуклом четырёхугольнике

M N P K

углы

N P M

N K M

равны. Докажите, что углы

M N K

M P K

также равны.

Ответ и решение

1Четырёхугольник выпуклый, поэтому его диагонали пересекаются; обозначим точку их пересечения через $Q$ .
2В треугольниках $K QM$ и $P QN$ углы $M K Q$ и $N P Q$ равны по условию, а углы $K QM$ и $P QN$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $K QM$ и $P QN$ подобны по двум углам, и $\frac{K Q}{P Q} = \frac{M Q}{N Q}$ .
3Из этой пропорции $\frac{K Q}{M Q} = \frac{P Q}{N Q}$ . В треугольниках $K QP$ и $M QN$ углы $K QP$ и $M QN$ равны как вертикальные, а стороны $Q K$ , $QP$ пропорциональны сторонам $QM$ , $QN$ .
4Значит, треугольники $K QP$ и $M QN$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, и их соответственные углы равны: $∠ QP K = ∠ QN M$ , то есть $∠ M P K = ∠ M N K$ .

Пример 2

В выпуклом четырёхугольнике

K L M N

углы

M L N

M K N

равны. Докажите, что углы

N M K

N L K

также равны.

Ответ и решение

1Четырёхугольник выпуклый, поэтому его диагонали пересекаются; обозначим точку их пересечения через $F$ .
2В треугольниках $K F N$ и $L F M$ углы $N K F$ и $M L F$ равны по условию, а углы $K F N$ и $L F M$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $K F N$ и $L F M$ подобны по двум углам, и $\frac{K F}{L F} = \frac{N F}{M F}$ .
3Из этой пропорции $\frac{K F}{N F} = \frac{L F}{M F}$ . В треугольниках $K F L$ и $N F M$ углы $K F L$ и $N F M$ равны как вертикальные, а стороны $F K$ , $F L$ пропорциональны сторонам $F N$ , $F M$ .
4Значит, треугольники $K F L$ и $N F M$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, и их соответственные углы равны: $∠ F L K = ∠ F M N$ , то есть $∠ N L K = ∠ N M K$ .

Пример 3

В выпуклом четырёхугольнике

A B C D

углы

C B D

C A D

равны. Докажите, что углы

D C A

D B A

также равны.

Ответ и решение

1Четырёхугольник выпуклый, поэтому его диагонали пересекаются; обозначим точку их пересечения через $H$ .
2В треугольниках $A H D$ и $B H C$ углы $D A H$ и $C B H$ равны по условию, а углы $A H D$ и $B H C$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $A H D$ и $B H C$ подобны по двум углам, и $\frac{A H}{B H} = \frac{D H}{C H}$ .
3Из этой пропорции $\frac{A H}{D H} = \frac{B H}{C H}$ . В треугольниках $A H B$ и $D H C$ углы $A H B$ и $D H C$ равны как вертикальные, а стороны $H A$ , $H B$ пропорциональны сторонам $H D$ , $H C$ .
4Значит, треугольники $A H B$ и $D H C$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, и их соответственные углы равны: $∠ H B A = ∠ H C D$ , то есть $∠ D B A = ∠ D C A$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)