Задание 24 · часть 2 · 2 балла · про

Внутренняя касательная делит отрезок центров, докажите отношение диаметров: задание 24 ОГЭ по математике

Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, это два прямых угла. Касательная пересекает отрезок центров, и углы при точке пересечения вертикальные. Треугольники подобны по двум углам, отношение радиусов равно данному отношению отрезков. Диаметры вдвое больше радиусов, отношение то же. Обозначь точки касания P и T, а пересечение с KH через O. Прямоугольные треугольники KPO и HTO дают $\frac{K P}{H T} = \frac{K O}{H O} = \frac{a}{b}$ .

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: внутренняя касательная делит линию центров

Отметь точки касания и проведи радиусы.
Обоснуй прямые углы и вертикальные углы.
Докажи подобие треугольников и запиши отношение радиусов.
Перейди к отношению диаметров.

Где ошибаются. Не объясняют, почему касательная пересекает сам отрезок KH, а не его продолжение. Для внутренней касательной окружности лежат по разные стороны от неё, это и надо написать.

Как проверить ответ. Проверь пропорцию: KP и HT радиусы, они лежат против вертикальных углов при O, а KO и HO гипотенузы. Радиус ставится к радиусу, гипотенуза к гипотенузе.

Правило

Если

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}

и углы между этими сторонами равны, треугольники подобны.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Подобие треугольников в доказательствах.

Прототипы банка ФИПИ: 51ABBB, 04B467

Примеры с решением

Пример 1

Окружности с центрами в точках

H

T

не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении

x : y

. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как

x : y

Ответ и решение

1Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках $R$ и $N$ и пересекает отрезок $H T$ в точке $L$ . По условию $H L : T L = x : y$ .
2Радиусы $H R$ и $T N$ проведены в точки касания, поэтому они перпендикулярны касательной: $∠ H R L = ∠ T N L = 9 0^{\circ}$ .
3Точка $L$ лежит между $H$ и $T$ , а $R$ и $N$ являются проекциями точек $H$ и $T$ на касательную, поэтому $L$ лежит между $R$ и $N$ . Значит, $∠ H L R = ∠ T L N$ как вертикальные углы.
4Треугольники $H R L$ и $T N L$ подобны по двум углам, поэтому $\frac{H R}{T N} = \frac{H L}{T L} = \frac{x}{y}$ .
5Диаметры окружностей равны $2 H R$ и $2 T N$ , поэтому они относятся как $2 H R : 2 T N = H R : T N = x : y$ .

Пример 2

Окружности с центрами в точках

T

E

m : n

. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как

m : n

Ответ и решение

1Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках $H$ и $N$ и пересекает отрезок $T E$ в точке $F$ . По условию $T F : E F = m : n$ .
2Радиусы $T H$ и $E N$ проведены в точки касания, поэтому они перпендикулярны касательной: $∠ T H F = ∠ E N F = 9 0^{\circ}$ .
3Точка $F$ лежит между $T$ и $E$ , а $H$ и $N$ являются проекциями точек $T$ и $E$ на касательную, поэтому $F$ лежит между $H$ и $N$ . Значит, $∠ T F H = ∠ E F N$ как вертикальные углы.
4Треугольники $T H F$ и $E N F$ подобны по двум углам, поэтому $\frac{T H}{E N} = \frac{T F}{E F} = \frac{m}{n}$ .
5Диаметры окружностей равны $2 T H$ и $2 E N$ , поэтому они относятся как $2 T H : 2 E N = T H : E N = m : n$ .

Пример 3

Окружности с центрами в точках

N

T

x : y

. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как

x : y

Ответ и решение

1Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках $K$ и $M$ и пересекает отрезок $N T$ в точке $H$ . По условию $N H : T H = x : y$ .
2Радиусы $N K$ и $T M$ проведены в точки касания, поэтому они перпендикулярны касательной: $∠ N K H = ∠ T M H = 9 0^{\circ}$ .
3Точка $H$ лежит между $N$ и $T$ , а $K$ и $M$ являются проекциями точек $N$ и $T$ на касательную, поэтому $H$ лежит между $K$ и $M$ . Значит, $∠ N H K = ∠ T H M$ как вертикальные углы.
4Треугольники $N K H$ и $T M H$ подобны по двум углам, поэтому $\frac{N K}{T M} = \frac{N H}{T H} = \frac{x}{y}$ .
5Диаметры окружностей равны $2 N K$ и $2 T M$ , поэтому они относятся как $2 N K : 2 T M = N K : T M = x : y$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Подобие треугольников при диагонали трапециисложный
Линия центров перпендикулярна общей хордесложный
Отрезок к середине стороны есть биссектрисасложный
Биссектрисы двух углов пересекаются на сторонесложный
Прямая через центр параллелограммасложный
Точка внутри параллелограмма и площадисложный
Равные площади треугольников у боковых сторонсложный

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)