Биссектриса угла ADC проходит через середину AB, найдите площадь трапеции: задание 25 ОГЭ по математике

Ответ: 360

1. 1Обозначим через $M$ середину $AB$; продолжим $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$. Треугольники $AMD$ и $BMK$ равны по стороне и двум прилежащим углам ($AM=MB$, $\angle AMD=\angle BMK$ как вертикальные, $\angle MAD=\angle MBK$ как накрест лежащие при $AD\parallel BK$ и секущей $AB$), поэтому $BK=AD$.
2. 2$\angle CKD=\angle KDA$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $DK$, а $\angle KDA=\angle KDC$, так как $DK$ является биссектрисой. Значит, $\angle CKD=\angle CDK$, треугольник $CKD$ равнобедренный: $CK=CD=30$.
3. 3Точка $B$ лежит на отрезке $CK$, поэтому $CK=CB+BK=BC+AD$, откуда $AD=CD-BC=30-6=24$.
4. 4Проведём через $C$ прямую, параллельную $AB$; она пересечёт $AD$ в точке $H$. $ABCH$ является параллелограммом (противоположные стороны попарно параллельны), поэтому $CH=AB=24$, $AH=BC=6$, $HD=24-6=18$.
5. 5В треугольнике $CHD$: $C{H}^2+H{D}^2=24^2+18^2=900=C{D}^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle CHD=90°$. Значит, $CH$ является высотой трапеции, $h=24$.
6. 6 $S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{6+24}{2}\cdot 24=360$.
7. 7Ответ: $360$

Ответ: 520

1. 1Обозначим через $M$ середину $AB$; продолжим $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$. Треугольники $AMD$ и $BMK$ равны по стороне и двум прилежащим углам ($AM=MB$, $\angle AMD=\angle BMK$ как вертикальные, $\angle MAD=\angle MBK$ как накрест лежащие при $AD\parallel BK$ и секущей $AB$), поэтому $BK=AD$.
2. 2$\angle CKD=\angle KDA$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $DK$, а $\angle KDA=\angle KDC$, так как $DK$ является биссектрисой. Значит, $\angle CKD=\angle CDK$, треугольник $CKD$ равнобедренный: $CK=CD=65$.
3. 3Точка $B$ лежит на отрезке $CK$, поэтому $CK=CB+BK=BC+AD$, откуда $AD=CD-BC=65-1=64$.
4. 4Проведём через $C$ прямую, параллельную $AB$; она пересечёт $AD$ в точке $H$. $ABCH$ является параллелограммом (противоположные стороны попарно параллельны), поэтому $CH=AB=16$, $AH=BC=1$, $HD=64-1=63$.
5. 5В треугольнике $CHD$: $C{H}^2+H{D}^2=16^2+63^2=4225=C{D}^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle CHD=90°$. Значит, $CH$ является высотой трапеции, $h=16$.
6. 6 $S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{1+64}{2}\cdot 16=520$.
7. 7Ответ: $520$

Ответ: 1160

1. 1Обозначим через $M$ середину $AB$; продолжим $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$. Треугольники $AMD$ и $BMK$ равны по стороне и двум прилежащим углам ($AM=MB$, $\angle AMD=\angle BMK$ как вертикальные, $\angle MAD=\angle MBK$ как накрест лежащие при $AD\parallel BK$ и секущей $AB$), поэтому $BK=AD$.
2. 2$\angle CKD=\angle KDA$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $DK$, а $\angle KDA=\angle KDC$, так как $DK$ является биссектрисой. Значит, $\angle CKD=\angle CDK$, треугольник $CKD$ равнобедренный: $CK=CD=58$.
3. 3Точка $B$ лежит на отрезке $CK$, поэтому $CK=CB+BK=BC+AD$, откуда $AD=CD-BC=58-8=50$.
4. 4Проведём через $C$ прямую, параллельную $AB$; она пересечёт $AD$ в точке $H$. $ABCH$ является параллелограммом (противоположные стороны попарно параллельны), поэтому $CH=AB=40$, $AH=BC=8$, $HD=50-8=42$.
5. 5В треугольнике $CHD$: $C{H}^2+H{D}^2=40^2+42^2=3364=C{D}^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle CHD=90°$. Значит, $CH$ является высотой трапеции, $h=40$.
6. 6 $S=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{8+50}{2}\cdot 40=1160$.
7. 7Ответ: $1160$