Задание 25 · часть 2 · 2 балла · сложный

В равнобедренную трапецию вписана окружность, найдите расстояние: задание 25 ОГЭ по математике

Суммы противоположных сторон равны, поэтому сумма оснований и сумма боковых сторон равны половине периметра. Средняя линия равна четверти периметра, высота равна площади, делённой на среднюю линию. Пифагор в треугольнике у боковой стороны даёт полуразность оснований, а с ней и сами основания. Треугольники при основаниях подобны, высота трапеции делится в отношении оснований.

Все типы задания 25

Проверь себя · 1 из 3

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен

120

, а площадь равна

540

, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Как решать задание 25 ОГЭ: равнобедренная трапеция с вписанной окружностью

Найди боковую сторону и сумму оснований по свойству описанного четырёхугольника.
Найди высоту через площадь и среднюю линию.
Найди основания через теорему Пифагора.
Раздели высоту в отношении оснований и выбери часть у меньшего основания.

Где ошибаются. Приравнивают катет из Пифагора к разности оснований. При периметре 200 и площади 1500 боковая 50, высота 30, катет 40 равен $\frac{b - a}{2}$ : основания 10 и 90, а не 30 и 70.

Как проверить ответ. Сверь: $10 + 90 = 50 + 50$ , площадь $\frac{10 + 90}{2} \cdot 30 = 1500$ , $40^{2} + 30^{2} = 50^{2}$ . Часть высоты у меньшего основания $30 \cdot \frac{10}{100} = 3$ .

Правило

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

; если в четырёхугольник вписана окружность,

a + c = b + d

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Трапеция и параллелограмм: средняя линия, площадь, вписанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: 51A343, AA39FE, 1EE527, F311D0, 277E5E

Примеры с решением

Пример 1

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен

200

, а площадь равна

1500

Ответ и решение

Ответ: 3

1Обозначим данную трапецию через $A B C D$ , её основания через $A D$ и $B C$ , $A B = C D$ . В четырёхугольник вписана окружность, поэтому суммы противоположных сторон равны: $A D + B C = A B + C D = \frac{200}{2} = 100$ . Значит, $A B = C D = 50$ .
2Средняя линия трапеции $\frac{A D + B C}{2} = 50$ , а площадь равна произведению средней линии на высоту: $1500 = 50 \cdot h$ , откуда $h = 30$ .
3Проведём высоту $B H$ . В равнобедренной трапеции $A H = \frac{A D - B C}{2}$ . Из прямоугольного треугольника $A B H$ по теореме Пифагора: $A H = A B^{2} - B H^{2} = 5 0^{2} - 3 0^{2} = 40$ .
4Тогда $A D - B C = 80$ и $A D + B C = 100$ , откуда $A D = 90$ , $B C = 10$ .
5Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей и проведём через $O$ перпендикуляр к основаниям; он пересекает $B C$ в точке $K$ , $A D$ в точке $L$ , и $K L = h = 30$ . Треугольники $B O C$ и $D O A$ подобны по двум углам ( $∠ O B C = ∠ O D A$ и $∠ O C B = ∠ O A D$ как накрест лежащие при $B C ∥ A D$ ), поэтому их высоты $O K$ и $O L$ относятся как соответственные стороны: $O K : O L = B C : A D = 10 : 90$ .
6Расстояние от $O$ до меньшего основания $B C$ : $O K = \frac{30 \cdot 10}{10 + 90} = 3$ .
7Ответ: $3$

Пример 2

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен

140

, а площадь равна

980

Ответ и решение

Ответ: 5,6

1Обозначим данную трапецию через $A B C D$ , её основания через $A D$ и $B C$ , $A B = C D$ . В четырёхугольник вписана окружность, поэтому суммы противоположных сторон равны: $A D + B C = A B + C D = \frac{140}{2} = 70$ . Значит, $A B = C D = 35$ .
2Средняя линия трапеции $\frac{A D + B C}{2} = 35$ , а площадь равна произведению средней линии на высоту: $980 = 35 \cdot h$ , откуда $h = 28$ .
3Проведём высоту $B H$ . В равнобедренной трапеции $A H = \frac{A D - B C}{2}$ . Из прямоугольного треугольника $A B H$ по теореме Пифагора: $A H = A B^{2} - B H^{2} = 3 5^{2} - 2 8^{2} = 21$ .
4Тогда $A D - B C = 42$ и $A D + B C = 70$ , откуда $A D = 56$ , $B C = 14$ .
5Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей и проведём через $O$ перпендикуляр к основаниям; он пересекает $B C$ в точке $K$ , $A D$ в точке $L$ , и $K L = h = 28$ . Треугольники $B O C$ и $D O A$ подобны по двум углам ( $∠ O B C = ∠ O D A$ и $∠ O C B = ∠ O A D$ как накрест лежащие при $B C ∥ A D$ ), поэтому их высоты $O K$ и $O L$ относятся как соответственные стороны: $O K : O L = B C : A D = 14 : 56$ .
6Расстояние от $O$ до меньшего основания $B C$ : $O K = \frac{28 \cdot 14}{14 + 56} = 5, 6$ .
7Ответ: $5, 6$

Пример 3

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен

200

, а площадь равна

2000

Ответ и решение

Ответ: 8

1Обозначим данную трапецию через $A B C D$ , её основания через $A D$ и $B C$ , $A B = C D$ . В четырёхугольник вписана окружность, поэтому суммы противоположных сторон равны: $A D + B C = A B + C D = \frac{200}{2} = 100$ . Значит, $A B = C D = 50$ .
2Средняя линия трапеции $\frac{A D + B C}{2} = 50$ , а площадь равна произведению средней линии на высоту: $2000 = 50 \cdot h$ , откуда $h = 40$ .
3Проведём высоту $B H$ . В равнобедренной трапеции $A H = \frac{A D - B C}{2}$ . Из прямоугольного треугольника $A B H$ по теореме Пифагора: $A H = A B^{2} - B H^{2} = 5 0^{2} - 4 0^{2} = 30$ .
4Тогда $A D - B C = 60$ и $A D + B C = 100$ , откуда $A D = 80$ , $B C = 20$ .
5Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей и проведём через $O$ перпендикуляр к основаниям; он пересекает $B C$ в точке $K$ , $A D$ в точке $L$ , и $K L = h = 40$ . Треугольники $B O C$ и $D O A$ подобны по двум углам ( $∠ O B C = ∠ O D A$ и $∠ O C B = ∠ O A D$ как накрест лежащие при $B C ∥ A D$ ), поэтому их высоты $O K$ и $O L$ относятся как соответственные стороны: $O K : O L = B C : A D = 20 : 80$ .
6Расстояние от $O$ до меньшего основания $B C$ : $O K = \frac{40 \cdot 20}{20 + 80} = 8$ .
7Ответ: $8$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)