Задание 25 · часть 2 · 2 балла · сложный

Биссектрисы углов A и B параллелограмма пересекаются, найдите площадь: задание 25 ОГЭ по математике

Точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, поэтому K находится на одинаковом расстоянии от AB, AD и BC. Перпендикуляры к AD и BC лежат на одной прямой и вместе дают высоту параллелограмма, равную удвоенному расстоянию. Площадь равна $B C \cdot 2 d$ . Обоснуй, что K лежит между AD и BC: иначе высота не была бы суммой.

Все типы задания 25

Проверь себя · 1 из 3

Биссектрисы углов

A

B

параллелограмма

A B C D

пересекаются в точке

K

. Найдите площадь параллелограмма, если

B C = 12

, а расстояние от точки

K

до стороны

A B

равно

4

Как решать задание 25 ОГЭ: площадь параллелограмма через точку на биссектрисах

Опусти из K перпендикуляры на AB, AD и BC.
Сошлись на свойство биссектрисы и сравни перпендикуляры.
Покажи, что два перпендикуляра образуют высоту параллелограмма.
Найди площадь как сторону на высоту.

Где ошибаются. Берут за высоту само расстояние до AB и получают $9 \cdot 11 = 99$ . От K до AD и до BC тоже по 11, эти перпендикуляры вместе дают высоту 22, и площадь $9 \cdot 22 = 198$ .

Как проверить ответ. Сделай обратное действие: раздели площадь на удвоенное расстояние, должна выйти BC из условия. Для BC = 5 и расстояния 10: $100 : 20 = 5$ . Если вышла другая сторона, высота взята неверно.

Правило

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

; если в четырёхугольник вписана окружность,

a + c = b + d

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Трапеция и параллелограмм: средняя линия, площадь, вписанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: A7594E, E097F7, 569075, 97C87B, FD6657

Примеры с решением

Пример 1

Биссектрисы углов

A

B

параллелограмма

A B C D

пересекаются в точке

K

. Найдите площадь параллелограмма, если

B C = 9

, а расстояние от точки

K

до стороны

A B

равно

11

Ответ и решение

Ответ: 198

1Проведём из точки $K$ перпендикуляры $K N$ к прямой $A B$ , $K P$ к прямой $A D$ и $K Q$ к прямой $B C$ ; по условию $K N = 11$ .
2Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ , поэтому $K P = K N = 11$ ; $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ , поэтому $K Q = K N = 11$ .
3Прямые $A D$ и $B C$ параллельны, а прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой, поэтому точки $P$ , $K$ , $Q$ лежат на одной прямой. Точка $K$ лежит между прямыми $A D$ и $B C$ (биссектрисы углов $A$ и $B$ идут внутрь полосы между ними), значит, $P Q = K P + K Q = 11 + 11 = 22$ ; это высота параллелограмма, проведённая к стороне $A D$ .
4Противоположные стороны параллелограмма равны: $A D = B C = 9$ . $S = A D \cdot P Q = 9 \cdot 22 = 198$ .
5Ответ: $198$

Пример 2

Биссектрисы углов

A

B

параллелограмма

A B C D

пересекаются в точке

K

. Найдите площадь параллелограмма, если

B C = 5

, а расстояние от точки

K

до стороны

A B

равно

10

Ответ и решение

Ответ: 100

1Проведём из точки $K$ перпендикуляры $K N$ к прямой $A B$ , $K P$ к прямой $A D$ и $K Q$ к прямой $B C$ ; по условию $K N = 10$ .
2Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ , поэтому $K P = K N = 10$ ; $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ , поэтому $K Q = K N = 10$ .
3Прямые $A D$ и $B C$ параллельны, а прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой, поэтому точки $P$ , $K$ , $Q$ лежат на одной прямой. Точка $K$ лежит между прямыми $A D$ и $B C$ (биссектрисы углов $A$ и $B$ идут внутрь полосы между ними), значит, $P Q = K P + K Q = 10 + 10 = 20$ ; это высота параллелограмма, проведённая к стороне $A D$ .
4Противоположные стороны параллелограмма равны: $A D = B C = 5$ . $S = A D \cdot P Q = 5 \cdot 20 = 100$ .
5Ответ: $100$

Пример 3

Биссектрисы углов

A

B

параллелограмма

A B C D

пересекаются в точке

K

. Найдите площадь параллелограмма, если

B C = 3

, а расстояние от точки

K

до стороны

A B

равно

5

Ответ и решение

Ответ: 30

1Проведём из точки $K$ перпендикуляры $K N$ к прямой $A B$ , $K P$ к прямой $A D$ и $K Q$ к прямой $B C$ ; по условию $K N = 5$ .
2Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ , поэтому $K P = K N = 5$ ; $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ , поэтому $K Q = K N = 5$ .
3Прямые $A D$ и $B C$ параллельны, а прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой, поэтому точки $P$ , $K$ , $Q$ лежат на одной прямой. Точка $K$ лежит между прямыми $A D$ и $B C$ (биссектрисы углов $A$ и $B$ идут внутрь полосы между ними), значит, $P Q = K P + K Q = 5 + 5 = 10$ ; это высота параллелограмма, проведённая к стороне $A D$ .
4Противоположные стороны параллелограмма равны: $A D = B C = 3$ . $S = A D \cdot P Q = 3 \cdot 10 = 30$ .
5Ответ: $30$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)