Окружность через C и D касается прямой AB, найдите расстояние от E до CD: задание 25 ОГЭ по математике

Ответ: 12

1. 1Проведём $EF\perp CD$ ($F$ на прямой $CD$); искомое расстояние равно $EF$. Так как $AD\parallel BC$ и $AB\perp BC$, то и $AB\perp AD$: треугольники $EBC$ и $EAD$ прямоугольные.
2. 2Угол между касательной $EB$ и хордой $EC$ равен половине дуги $EC$, как и вписанный угол $EDC$, опирающийся на эту дугу: $\angle BEC=\angle EDC$. Этот угол и угол $ECD$ острые, поэтому точка $F$ лежит на отрезке $CD$ и $\angle EDF=\angle EDC$.
3. 3Прямоугольные треугольники $EBC$ и $DFE$ подобны по острому углу ($\angle BEC=\angle FDE$), поэтому $\frac{BC}{EC}=\frac{EF}{ED}$.
4. 4Аналогично угол между касательной $EA$ и хордой $ED$ равен вписанному углу $ECD$, опирающемуся на дугу $ED$: $\angle AED=\angle ECF$. Прямоугольные треугольники $EAD$ и $CFE$ подобны по острому углу, и $\frac{AD}{ED}=\frac{EF}{EC}$.
5. 5Перемножим равенства: $\frac{BC\cdot AD}{EC\cdot ED}=\frac{E{F}^2}{ED\cdot EC}$, откуда $E{F}^2=AD\cdot BC=24\cdot 6=144$.
6. 6$EF=\sqrt{144}=12$.
7. 7Ответ: $12$

Ответ: 15

1. 1Проведём $EF\perp CD$ ($F$ на прямой $CD$); искомое расстояние равно $EF$. Так как $AD\parallel BC$ и $AB\perp BC$, то и $AB\perp AD$: треугольники $EBC$ и $EAD$ прямоугольные.
2. 2Угол между касательной $EB$ и хордой $EC$ равен половине дуги $EC$, как и вписанный угол $EDC$, опирающийся на эту дугу: $\angle BEC=\angle EDC$. Этот угол и угол $ECD$ острые, поэтому точка $F$ лежит на отрезке $CD$ и $\angle EDF=\angle EDC$.
3. 3Прямоугольные треугольники $EBC$ и $DFE$ подобны по острому углу ($\angle BEC=\angle FDE$), поэтому $\frac{BC}{EC}=\frac{EF}{ED}$.
4. 4Аналогично угол между касательной $EA$ и хордой $ED$ равен вписанному углу $ECD$, опирающемуся на дугу $ED$: $\angle AED=\angle ECF$. Прямоугольные треугольники $EAD$ и $CFE$ подобны по острому углу, и $\frac{AD}{ED}=\frac{EF}{EC}$.
5. 5Перемножим равенства: $\frac{BC\cdot AD}{EC\cdot ED}=\frac{E{F}^2}{ED\cdot EC}$, откуда $E{F}^2=AD\cdot BC=9\cdot 25=225$.
6. 6$EF=\sqrt{225}=15$.
7. 7Ответ: $15$

Ответ: 10

1. 1Проведём $EF\perp CD$ ($F$ на прямой $CD$); искомое расстояние равно $EF$. Так как $AD\parallel BC$ и $AB\perp BC$, то и $AB\perp AD$: треугольники $EBC$ и $EAD$ прямоугольные.
2. 2Угол между касательной $EB$ и хордой $EC$ равен половине дуги $EC$, как и вписанный угол $EDC$, опирающийся на эту дугу: $\angle BEC=\angle EDC$. Этот угол и угол $ECD$ острые, поэтому точка $F$ лежит на отрезке $CD$ и $\angle EDF=\angle EDC$.
3. 3Прямоугольные треугольники $EBC$ и $DFE$ подобны по острому углу ($\angle BEC=\angle FDE$), поэтому $\frac{BC}{EC}=\frac{EF}{ED}$.
4. 4Аналогично угол между касательной $EA$ и хордой $ED$ равен вписанному углу $ECD$, опирающемуся на дугу $ED$: $\angle AED=\angle ECF$. Прямоугольные треугольники $EAD$ и $CFE$ подобны по острому углу, и $\frac{AD}{ED}=\frac{EF}{EC}$.
5. 5Перемножим равенства: $\frac{BC\cdot AD}{EC\cdot ED}=\frac{E{F}^2}{ED\cdot EC}$, откуда $E{F}^2=AD\cdot BC=20\cdot 5=100$.
6. 6$EF=\sqrt{100}=10$.
7. 7Ответ: $10$