Задание 25 · часть 2 · 2 балла · сложный

Биссектриса угла A делит высоту из B, найдите радиус описанной окружности: задание 25 ОГЭ по математике

В прямоугольном треугольнике ABH отрезок AL биссектриса, поэтому $\frac{A B}{A H} = \frac{B L}{L H}$ . Отношение AH к AB и есть $\cos A$ , например $\frac{40}{41}$ . Синус находишь через основное тождество, в банке получается рациональное число. Дальше теорема синусов: $R = \frac{B C}{2 \sin A}$ . Пример: отношение 5 : 3 от точки B, BC = 32. Тогда $\cos A = \frac{3}{5}$ , $\sin A = \frac{4}{5}$ , R = 20. Ловушка: перевернуть дробь и получить косинус больше 1.

Все типы задания 25

Проверь себя · 1 из 3

В треугольнике

A B C

биссектриса угла

A

делит высоту, проведённую из вершины

B

, в отношении

13 : 12

, считая от точки

B

. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

A B C

, если

B C = 34

Как решать задание 25 ОГЭ: биссектриса делит высоту, найти радиус

Рассмотри треугольник ABH и запиши свойство биссектрисы.
Вырази косинус угла A через отношение.
Найди синус угла A.
Найди радиус по теореме синусов.

Где ошибаются. Забывают двойку в теореме синусов: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{32}{0,8} = 40$ . Это диаметр, а радиус $R = 20$ .

Как проверить ответ. Проверь синус и косинус: $\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ . Затем обратный ход: $B C = 2 R \sin A = 40 \cdot 0,8 = 32$ , как в условии.

Правило

Биссектриса AL треугольника ABC:

\frac{B L}{L C} = \frac{A B}{A C}

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Биссектриса, медиана и высота треугольника.

Прототипы банка ФИПИ: C18F47, CCDD0E, 022418, C4C611, 42942C

Примеры с решением

Пример 1

В треугольнике

A B C

биссектриса угла

A

делит высоту, проведённую из вершины

B

, в отношении

5 : 3

, считая от точки

B

. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

A B C

, если

B C = 14

Ответ и решение

Ответ: 8,75

1Проведём высоту $B H$ ; пусть биссектриса угла $A$ пересекает $B H$ в точке $L$ , $B L : L H = 5 : 3$ . Биссектриса пересекает высоту $B H$ , значит, угол $A$ острый и точка $H$ лежит на луче $A C$ , $∠ B A H = ∠ A$ .
2В треугольнике $A B H$ отрезок $A L$ является биссектрисой, а биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{A B}{A H} = \frac{B L}{L H} = \frac{5}{3}$ .
3Из прямоугольного треугольника $A B H$ : $cos A = \frac{A H}{A B} = \frac{3}{5}$ , тогда $sin A = 1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}$ .
4По теореме синусов $\frac{B C}{sin A} = 2 R$ , откуда $R = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{14 \cdot 5}{2 \cdot 4} = 8, 75$ .
5Ответ: $8, 75$

Пример 2

В треугольнике

A B C

биссектриса угла

A

делит высоту, проведённую из вершины

B

, в отношении

13 : 12

, считая от точки

B

. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

A B C

, если

B C = 11

Ответ и решение

Ответ: 14,3

1Проведём высоту $B H$ ; пусть биссектриса угла $A$ пересекает $B H$ в точке $L$ , $B L : L H = 13 : 12$ . Биссектриса пересекает высоту $B H$ , значит, угол $A$ острый и точка $H$ лежит на луче $A C$ , $∠ B A H = ∠ A$ .
2В треугольнике $A B H$ отрезок $A L$ является биссектрисой, а биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{A B}{A H} = \frac{B L}{L H} = \frac{13}{12}$ .
3Из прямоугольного треугольника $A B H$ : $cos A = \frac{A H}{A B} = \frac{12}{13}$ , тогда $sin A = 1 - (\frac{12}{13})^{2} = \frac{5}{13}$ .
4По теореме синусов $\frac{B C}{sin A} = 2 R$ , откуда $R = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{11 \cdot 13}{2 \cdot 5} = 14, 3$ .
5Ответ: $14, 3$

Пример 3

В треугольнике

A B C

биссектриса угла

A

делит высоту, проведённую из вершины

B

, в отношении

5 : 3

, считая от точки

B

. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника

A B C

, если

B C = 32

Ответ и решение

Ответ: 20

1Проведём высоту $B H$ ; пусть биссектриса угла $A$ пересекает $B H$ в точке $L$ , $B L : L H = 5 : 3$ . Биссектриса пересекает высоту $B H$ , значит, угол $A$ острый и точка $H$ лежит на луче $A C$ , $∠ B A H = ∠ A$ .
2В треугольнике $A B H$ отрезок $A L$ является биссектрисой, а биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{A B}{A H} = \frac{B L}{L H} = \frac{5}{3}$ .
3Из прямоугольного треугольника $A B H$ : $cos A = \frac{A H}{A B} = \frac{3}{5}$ , тогда $sin A = 1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}$ .
4По теореме синусов $\frac{B C}{sin A} = 2 R$ , откуда $R = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{32 \cdot 5}{2 \cdot 4} = 20$ .
5Ответ: $20$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)