Центр окружности, вписанной в треугольник ABC, площадь параллелограмма: задание 25 ОГЭ по математике

Ответ: 672

1. 1Пусть вписанная окружность касается $AC$, $AB$, $BC$ в точках $K$, $L$, $N$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OK\perp AC$ и $r=OK=6$. Из прямоугольного треугольника $AOK$ по теореме Пифагора: $AK=\sqrt{A{O}^2-O{K}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
2. 2Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $AL=AK$, $BL=BN$, $CN=CK$. Поэтому полупериметр треугольника $ABC$ равен $AK+BN+NC=AK+BC=8+BC$, и $S_{ABC}=r\cdot (8+BC)=6(8+BC)$.
3. 3$ON\perp BC$, и так как $AD\parallel BC$, прямая $ON$ перпендикулярна и $AD$; пусть она пересекает $AD$ в точке $E$, тогда $OE=8$. Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между прямыми $AD$ и $BC$, поэтому высота параллелограмма $NE=OE+ON=8+6=14$. Высота треугольника $ABC$, проведённая к $BC$, такая же, и $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 14$.
4. 4Приравняем: $6(8+BC)=\frac{14}{2}BC$; умножив на 2, получим $96+12BC=14BC$, $BC=\frac{96}{2}=48$.
5. 5 $S_{ABCD}=BC\cdot NE=48\cdot 14=672$.
6. 6Ответ: $672$

Ответ: 1632

1. 1Пусть вписанная окружность касается $AC$, $AB$, $BC$ в точках $K$, $L$, $N$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OK\perp AC$ и $r=OK=8$. Из прямоугольного треугольника $AOK$ по теореме Пифагора: $AK=\sqrt{A{O}^2-O{K}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
2. 2Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $AL=AK$, $BL=BN$, $CN=CK$. Поэтому полупериметр треугольника $ABC$ равен $AK+BN+NC=AK+BC=6+BC$, и $S_{ABC}=r\cdot (6+BC)=8(6+BC)$.
3. 3$ON\perp BC$, и так как $AD\parallel BC$, прямая $ON$ перпендикулярна и $AD$; пусть она пересекает $AD$ в точке $E$, тогда $OE=9$. Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между прямыми $AD$ и $BC$, поэтому высота параллелограмма $NE=OE+ON=9+8=17$. Высота треугольника $ABC$, проведённая к $BC$, такая же, и $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 17$.
4. 4Приравняем: $8(6+BC)=\frac{17}{2}BC$; умножив на 2, получим $96+16BC=17BC$, $BC=\frac{96}{1}=96$.
5. 5 $S_{ABCD}=BC\cdot NE=96\cdot 17=1632$.
6. 6Ответ: $1632$

Ответ: 4320

1. 1Пусть вписанная окружность касается $AC$, $AB$, $BC$ в точках $K$, $L$, $N$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OK\perp AC$ и $r=OK=18$. Из прямоугольного треугольника $AOK$ по теореме Пифагора: $AK=\sqrt{A{O}^2-O{K}^2}=\sqrt{30^2-18^2}=24$.
2. 2Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $AL=AK$, $BL=BN$, $CN=CK$. Поэтому полупериметр треугольника $ABC$ равен $AK+BN+NC=AK+BC=24+BC$, и $S_{ABC}=r\cdot (24+BC)=18(24+BC)$.
3. 3$ON\perp BC$, и так как $AD\parallel BC$, прямая $ON$ перпендикулярна и $AD$; пусть она пересекает $AD$ в точке $E$, тогда $OE=27$. Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между прямыми $AD$ и $BC$, поэтому высота параллелограмма $NE=OE+ON=27+18=45$. Высота треугольника $ABC$, проведённая к $BC$, такая же, и $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 45$.
4. 4Приравняем: $18(24+BC)=\frac{45}{2}BC$; умножив на 2, получим $864+36BC=45BC$, $BC=\frac{864}{9}=96$.
5. 5 $S_{ABCD}=BC\cdot NE=96\cdot 45=4320$.
6. 6Ответ: $4320$