Полуокружность на стороне BC пересекает высоту AD, найдите AH: задание 25 ОГЭ по математике

Ответ: 30,6

1. 1Точка $M$ лежит на полуокружности с диаметром $BC$, поэтому вписанный угол $BMC$ опирается на диаметр и $\angle BMC=90°$.
2. 2$MD\perp BC$, так как $M$ лежит на высоте $AD$. Значит, $MD$ является высотой прямоугольного треугольника $BMC$, проведённой к гипотенузе, и по свойству этой высоты $M{D}^2=BD\cdot DC$.
3. 3Проведём высоту $BE$ треугольника $ABC$; точка $H$ лежит на $AD$ и на $BE$. Треугольник остроугольный, поэтому $D$ лежит на стороне $BC$, а $E$ на стороне $AC$. Из прямоугольного треугольника $BEC$: $\angle HBD=\angle EBC=90°-\angle C$; из прямоугольного треугольника $ADC$: $\angle DAC=90°-\angle C$. Значит, $\angle HBD=\angle DAC$.
4. 4Прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ (прямые углы при вершине $D$) подобны по острому углу, откуда $\frac{HD}{DC}=\frac{BD}{AD}$, то есть $HD=\frac{BD\cdot DC}{AD}=\frac{M{D}^2}{AD}$.
5. 5$HD=\frac{42^2}{60}=29,4$. Точка $H$ лежит на отрезке $AD$, поэтому $AH=AD-HD=60-29,4=30,6$.
6. 6Ответ: $30,6$

Ответ: 25,2

1. 1Точка $M$ лежит на полуокружности с диаметром $BC$, поэтому вписанный угол $BMC$ опирается на диаметр и $\angle BMC=90°$.
2. 2$MD\perp BC$, так как $M$ лежит на высоте $AD$. Значит, $MD$ является высотой прямоугольного треугольника $BMC$, проведённой к гипотенузе, и по свойству этой высоты $M{D}^2=BD\cdot DC$.
3. 3Проведём высоту $BE$ треугольника $ABC$; точка $H$ лежит на $AD$ и на $BE$. Треугольник остроугольный, поэтому $D$ лежит на стороне $BC$, а $E$ на стороне $AC$. Из прямоугольного треугольника $BEC$: $\angle HBD=\angle EBC=90°-\angle C$; из прямоугольного треугольника $ADC$: $\angle DAC=90°-\angle C$. Значит, $\angle HBD=\angle DAC$.
4. 4Прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ (прямые углы при вершине $D$) подобны по острому углу, откуда $\frac{HD}{DC}=\frac{BD}{AD}$, то есть $HD=\frac{BD\cdot DC}{AD}=\frac{M{D}^2}{AD}$.
5. 5$HD=\frac{12^2}{30}=4,8$. Точка $H$ лежит на отрезке $AD$, поэтому $AH=AD-HD=30-4,8=25,2$.
6. 6Ответ: $25,2$

Ответ: 21

1. 1Точка $M$ лежит на полуокружности с диаметром $BC$, поэтому вписанный угол $BMC$ опирается на диаметр и $\angle BMC=90°$.
2. 2$MD\perp BC$, так как $M$ лежит на высоте $AD$. Значит, $MD$ является высотой прямоугольного треугольника $BMC$, проведённой к гипотенузе, и по свойству этой высоты $M{D}^2=BD\cdot DC$.
3. 3Проведём высоту $BE$ треугольника $ABC$; точка $H$ лежит на $AD$ и на $BE$. Треугольник остроугольный, поэтому $D$ лежит на стороне $BC$, а $E$ на стороне $AC$. Из прямоугольного треугольника $BEC$: $\angle HBD=\angle EBC=90°-\angle C$; из прямоугольного треугольника $ADC$: $\angle DAC=90°-\angle C$. Значит, $\angle HBD=\angle DAC$.
4. 4Прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ (прямые углы при вершине $D$) подобны по острому углу, откуда $\frac{HD}{DC}=\frac{BD}{AD}$, то есть $HD=\frac{BD\cdot DC}{AD}=\frac{M{D}^2}{AD}$.
5. 5$HD=\frac{10^2}{25}=4$. Точка $H$ лежит на отрезке $AD$, поэтому $AH=AD-HD=25-4=21$.
6. 6Ответ: $21$