Задание 25 · часть 2 · 2 балла · про

Биссектриса и медиана перпендикулярны и равны, найдите сторону: задание 25 ОГЭ по математике

В треугольнике ABD отрезок BP и биссектриса, и высота, значит, AB = BD и P середина AD. Проведи DF ∥ BE: это средняя линия треугольника CBE, а PE средняя линия треугольника ADF. Получаешь AE = EF = FC и $P E = \frac{B E}{4}$ . Если спрашивают AC, найди AE из прямоугольного треугольника APE: AC = 3AE. Если спрашивают BC, возьми треугольник APB с катетом $B P = \frac{3}{4} B E$ : BC = 2AB.

Все типы задания 25

Проверь себя · 1 из 3

В треугольнике

A B C

биссектриса

B E

и медиана

A D

перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную

3213

. Найдите сторону

A B

Как решать задание 25 ОГЭ: перпендикулярные биссектриса и медиана

Докажи, что треугольник ABD равнобедренный, а P середина AD.
Проведи DF параллельно BE и найди две средние линии.
Выведи, что AC делится на три равные части.
По теореме Пифагора найди AE (для AC) или AB (для BC) и вычисли искомую сторону.

Где ошибаются. Считают P серединой BE. На самом деле $P E = \frac{B E}{4}$ и $B P = \frac{3}{4} B E$ : DF средняя линия треугольника CBE, а PE средняя линия треугольника ADF.

Как проверить ответ. Пересчитай для BE = AD = $4 \sqrt{5}$ : AP = $2 \sqrt{5}$ , PE = $\sqrt{5}$ , $A E = \sqrt{20 + 5} = 5$ , $A C = 3 A E = 15$ . Части AC должны быть равны.

Правило

Биссектриса AL треугольника ABC:

\frac{B L}{L C} = \frac{A B}{A C}

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Биссектриса, медиана и высота треугольника.

Прототипы банка ФИПИ: 994A4D, 9B997B, 29FC1C, 2FAD1C, 25CB29

Примеры с решением

Пример 1

В треугольнике

A B C

биссектриса

B E

и медиана

A D

перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную

4 \sqrt{5}

. Найдите сторону

A C

Ответ и решение

Ответ: 15

1Пусть $B E$ и $A D$ пересекаются в точке $P$ . В треугольнике $A B D$ отрезок $B P$ является биссектрисой и высотой ( $B E ⊥ A D$ ), поэтому треугольник $A B D$ равнобедренный: $A B = B D$ , и $B P$ также медиана: $A P = P D = \frac{A D}{2}$ .
2Точка $D$ является серединой $B C$ ( $A D$ медиана), поэтому $B C = 2 B D = 2 A B$ .
3Проведём $D F ∥ B E$ ( $F$ на $A C$ ). В треугольнике $C B E$ прямая $D F$ проходит через середину $D$ стороны $B C$ параллельно $B E$ , значит, $D F$ средняя линия: $F$ середина $E C$ , $D F = \frac{B E}{2}$ .
4В треугольнике $A D F$ отрезок $P E$ проходит через середину $P$ стороны $A D$ параллельно $D F$ , значит, $P E$ средняя линия: $A E = E F$ , $P E = \frac{D F}{2} = \frac{B E}{4}$ . Итак, $A E = E F = F C$ .
5 $A P = \frac{4 5}{2} = 25$ , $P E = \frac{4 5}{4} = 5$ . Из прямоугольного треугольника $A P E$ : $A E = A P^{2} + P E^{2} = 20 + 5 = 25 = 5$ .
6 $A C = A E + E F + F C = 3 A E = 3 \cdot 5 = 15$ .
7Ответ: $15$

Пример 2

В треугольнике

A B C

биссектриса

B E

и медиана

A D

перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную

12 \sqrt{5}

. Найдите сторону

A C

Ответ и решение

Ответ: 45

1Пусть $B E$ и $A D$ пересекаются в точке $P$ . В треугольнике $A B D$ отрезок $B P$ является биссектрисой и высотой ( $B E ⊥ A D$ ), поэтому треугольник $A B D$ равнобедренный: $A B = B D$ , и $B P$ также медиана: $A P = P D = \frac{A D}{2}$ .
2Точка $D$ является серединой $B C$ ( $A D$ медиана), поэтому $B C = 2 B D = 2 A B$ .
3Проведём $D F ∥ B E$ ( $F$ на $A C$ ). В треугольнике $C B E$ прямая $D F$ проходит через середину $D$ стороны $B C$ параллельно $B E$ , значит, $D F$ средняя линия: $F$ середина $E C$ , $D F = \frac{B E}{2}$ .
4В треугольнике $A D F$ отрезок $P E$ проходит через середину $P$ стороны $A D$ параллельно $D F$ , значит, $P E$ средняя линия: $A E = E F$ , $P E = \frac{D F}{2} = \frac{B E}{4}$ . Итак, $A E = E F = F C$ .
5 $A P = \frac{12 5}{2} = 65$ , $P E = \frac{12 5}{4} = 35$ . Из прямоугольного треугольника $A P E$ : $A E = A P^{2} + P E^{2} = 180 + 45 = 225 = 15$ .
6 $A C = A E + E F + F C = 3 A E = 3 \cdot 15 = 45$ .
7Ответ: $45$

Пример 3

В треугольнике

A B C

биссектриса

B E

и медиана

A D

перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную

16 \sqrt{5}

. Найдите сторону

A C

Ответ и решение

Ответ: 60

1Пусть $B E$ и $A D$ пересекаются в точке $P$ . В треугольнике $A B D$ отрезок $B P$ является биссектрисой и высотой ( $B E ⊥ A D$ ), поэтому треугольник $A B D$ равнобедренный: $A B = B D$ , и $B P$ также медиана: $A P = P D = \frac{A D}{2}$ .
2Точка $D$ является серединой $B C$ ( $A D$ медиана), поэтому $B C = 2 B D = 2 A B$ .
3Проведём $D F ∥ B E$ ( $F$ на $A C$ ). В треугольнике $C B E$ прямая $D F$ проходит через середину $D$ стороны $B C$ параллельно $B E$ , значит, $D F$ средняя линия: $F$ середина $E C$ , $D F = \frac{B E}{2}$ .
4В треугольнике $A D F$ отрезок $P E$ проходит через середину $P$ стороны $A D$ параллельно $D F$ , значит, $P E$ средняя линия: $A E = E F$ , $P E = \frac{D F}{2} = \frac{B E}{4}$ . Итак, $A E = E F = F C$ .
5 $A P = \frac{16 5}{2} = 85$ , $P E = \frac{16 5}{4} = 45$ . Из прямоугольного треугольника $A P E$ : $A E = A P^{2} + P E^{2} = 320 + 80 = 400 = 20$ .
6 $A C = A E + E F + F C = 3 A E = 3 \cdot 20 = 60$ .
7Ответ: $60$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)