Задание 25 · часть 2 · 2 балла · про

O центр описанной окружности, прямая BD перпендикулярна AO, найдите CD: задание 25 ОГЭ по математике

Проведи касательную в точке A: она перпендикулярна AO и поэтому параллельна BD. Угол между касательной и хордой AB равен углу ACB, и тот же угол равен углу ABD как накрест лежащий. Треугольники ABD и ACB подобны, $A D = \frac{A B^{2}}{A C}$ . Ответ CD = AC − AD, а не AD. Пример: AB = 17, AC = 34, $A D = \frac{17^{2}}{34} = 8,5$ , CD = 34 − 8,5 = 25,5.

Все типы задания 25

Проверь себя · 1 из 3

В треугольнике

A B C

известны длины сторон

A B = 34

A C = 68

, точка

O

является центром окружности, описанной около треугольника

A B C

. Прямая

B D

, перпендикулярная прямой

A O

, пересекает сторону

A C

в точке

D

. Найдите

C D

Как решать задание 25 ОГЭ: прямая BD перпендикулярна AO

Проведи касательную в точке A и докажи, что она параллельна BD.
Найди равные углы через угол между касательной и хордой.
Докажи подобие треугольников ABD и ACB.
Найди AD и затем CD.

Где ошибаются. Переворачивают пропорцию и пишут $A D = \frac{A C^{2}}{A B}$ . Из подобия ABD и ACB $\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}$ , поэтому $A D = \frac{A B^{2}}{A C}$ .

Как проверить ответ. Проверь пропорцию: $\frac{8,5}{17} = \frac{17}{34} = 0,5$ . И сумма отрезков: $A D + C D = 8,5 + 25,5 = 34 = A C$ .

Правило

\frac{a}{\sin A} = 2 R

; вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен

90^{\circ}

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Вписанные углы и описанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: 10B970, B844B3, 29FBB2, DC28AA, CBF1A6

Примеры с решением

Пример 1

В треугольнике

A B C

известны длины сторон

A B = 63

A C = 70

, точка

O

является центром окружности, описанной около треугольника

A B C

. Прямая

B D

, перпендикулярная прямой

A O

, пересекает сторону

A C

в точке

D

. Найдите

C D

Ответ и решение

Ответ: 13,3

1Проведём касательную $l$ к описанной окружности в точке $A$ . Касательная перпендикулярна радиусу $A O$ , проведённому в точку касания, а $B D ⊥ A O$ ; две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны: $B D ∥ l$ .
2Угол между касательной $l$ и хордой $A B$ равен половине дуги $A B$ , как и вписанный угол $A C B$ , опирающийся на эту дугу. Угол между $l$ и $A B$ и угол $A B D$ равны как накрест лежащие при $l ∥ B D$ и секущей $A B$ , поэтому $∠ A B D = ∠ A C B$ .
3Треугольники $A B D$ и $A C B$ подобны по двум углам (угол $A$ общий, $∠ A B D = ∠ A C B$ ), откуда $\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}$ .
4 $A D = \frac{A B ^{2}}{A C} = \frac{6 3 ^{2}}{70} = 56, 7$ .
5Точка $D$ лежит на отрезке $A C$ , поэтому $C D = A C - A D = 70 - 56, 7 = 13, 3$ .
6Ответ: $13, 3$

Пример 2

В треугольнике

A B C

известны длины сторон

A B = 30

A C = 40

, точка

O

является центром окружности, описанной около треугольника

A B C

. Прямая

B D

, перпендикулярная прямой

A O

, пересекает сторону

A C

в точке

D

. Найдите

C D

Ответ и решение

Ответ: 17,5

1Проведём касательную $l$ к описанной окружности в точке $A$ . Касательная перпендикулярна радиусу $A O$ , проведённому в точку касания, а $B D ⊥ A O$ ; две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны: $B D ∥ l$ .
2Угол между касательной $l$ и хордой $A B$ равен половине дуги $A B$ , как и вписанный угол $A C B$ , опирающийся на эту дугу. Угол между $l$ и $A B$ и угол $A B D$ равны как накрест лежащие при $l ∥ B D$ и секущей $A B$ , поэтому $∠ A B D = ∠ A C B$ .
3Треугольники $A B D$ и $A C B$ подобны по двум углам (угол $A$ общий, $∠ A B D = ∠ A C B$ ), откуда $\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}$ .
4 $A D = \frac{A B ^{2}}{A C} = \frac{3 0 ^{2}}{40} = 22, 5$ .
5Точка $D$ лежит на отрезке $A C$ , поэтому $C D = A C - A D = 40 - 22, 5 = 17, 5$ .
6Ответ: $17, 5$

Пример 3

В треугольнике

A B C

известны длины сторон

A B = 33

A C = 90

, точка

O

является центром окружности, описанной около треугольника

A B C

. Прямая

B D

, перпендикулярная прямой

A O

, пересекает сторону

A C

в точке

D

. Найдите

C D

Ответ и решение

Ответ: 77,9

1Проведём касательную $l$ к описанной окружности в точке $A$ . Касательная перпендикулярна радиусу $A O$ , проведённому в точку касания, а $B D ⊥ A O$ ; две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны: $B D ∥ l$ .
2Угол между касательной $l$ и хордой $A B$ равен половине дуги $A B$ , как и вписанный угол $A C B$ , опирающийся на эту дугу. Угол между $l$ и $A B$ и угол $A B D$ равны как накрест лежащие при $l ∥ B D$ и секущей $A B$ , поэтому $∠ A B D = ∠ A C B$ .
3Треугольники $A B D$ и $A C B$ подобны по двум углам (угол $A$ общий, $∠ A B D = ∠ A C B$ ), откуда $\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}$ .
4 $A D = \frac{A B ^{2}}{A C} = \frac{3 3 ^{2}}{90} = 12, 1$ .
5Точка $D$ лежит на отрезке $A C$ , поэтому $C D = A C - A D = 90 - 12, 1 = 77, 9$ .
6Ответ: $77, 9$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)