Задание 25 · часть 2 · 2 балла · про

Диагонали вписанного четырёхугольника под углом 60°, найдите радиус: задание 25 ОГЭ по математике

Угол между хордами равен полусумме дуг, поэтому дуги AB и CD вместе дают 120°. Отложи от B дугу, равную CD: получишь треугольник ABE со сторонами AB, CD и углом 120° между ними. По теореме косинусов $A E^{2} = A B^{2} + C D^{2} + A B \cdot C D$ . По теореме синусов $A E = R \sqrt{3}$ .

Все типы задания 25

Проверь себя · 1 из 3

Четырёхугольник

A B C D

со сторонами

A B = 47

C D = 74

вписан в окружность. Диагонали

A C

B D

пересекаются в точке

K

, причём

∠ A K B = 60°

. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Как решать задание 25 ОГЭ: вписанный четырёхугольник, угол между диагоналями 60°

Найди сумму двух дуг через угол между хордами.
Построй точку E так, чтобы дуга BE равнялась дуге CD.
Найди угол ABE и сторону AE по теореме косинусов.
Найди радиус по теореме синусов.

Где ошибаются. Ставят минус перед $A B \cdot C D$ . Косинус 120° отрицательный: $- 2 \cdot A B \cdot C D \cdot \cos 120^{\circ} = + A B \cdot C D$ .

Как проверить ответ. Для AB = 22, CD = 52: $A E^{2} = 484 + 2704 + 1144 = 4332$ , $R^{2} = 4332 : 3 = 1444$ , R = 38. AE лежит против угла 120°, поэтому длиннее 52.

Правило

\frac{a}{\sin A} = 2 R

; вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен

90^{\circ}

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Вписанные углы и описанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: A172F9, 602BF1, 3ECA01, 2BB17F, AE3879

Примеры с решением

Пример 1

Четырёхугольник

A B C D

со сторонами

A B = 22

C D = 52

вписан в окружность. Диагонали

A C

B D

пересекаются в точке

K

, причём

∠ A K B = 60 °

. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ответ и решение

Ответ: 38

1Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями: $∠ A K B = \frac{⌣ A B + ⌣ C D}{2}$ (дуги, не содержащие других вершин), поэтому $⌣ A B + ⌣ C D = 2 \cdot 60° = 120°$ .
2Отметим на окружности точку $E$ так, чтобы дуга $B E$ (не содержащая $A$ ) была равна дуге $C D$ . Тогда дуга $A E$ , содержащая точку $B$ , равна $⌣ A B + ⌣ B E = 120°$ , а хорды, стягивающие равные дуги, равны: $B E = C D = 52$ .
3Вписанный угол $A B E$ равен половине дуги $A E$ , не содержащей $B$ ; эта дуга равна $360° - 120° = 240°$ , поэтому $∠ A B E = 120°$ .
4По теореме косинусов в треугольнике $A B E$ : $A E^{2} = A B^{2} + B E^{2} - 2 \cdot A B \cdot B E \cdot cos 120° = 2 2^{2} + 5 2^{2} + 22 \cdot 52 = 4332$ .
5Треугольник $A B E$ вписан в ту же окружность радиуса $R$ , по теореме синусов $A E = 2 R sin ∠ A B E = 2 R sin 120° = R 3$ . Отсюда $R^{2} = \frac{A E ^{2}}{3} = \frac{4332}{3} = 1444$ , $R = 38$ .
6Ответ: $38$

Пример 2

Четырёхугольник

A B C D

со сторонами

A B = 47

C D = 26

вписан в окружность. Диагонали

A C

B D

пересекаются в точке

K

, причём

∠ A K B = 60 °

. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ответ и решение

Ответ: 37

1Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями: $∠ A K B = \frac{⌣ A B + ⌣ C D}{2}$ (дуги, не содержащие других вершин), поэтому $⌣ A B + ⌣ C D = 2 \cdot 60° = 120°$ .
2Отметим на окружности точку $E$ так, чтобы дуга $B E$ (не содержащая $A$ ) была равна дуге $C D$ . Тогда дуга $A E$ , содержащая точку $B$ , равна $⌣ A B + ⌣ B E = 120°$ , а хорды, стягивающие равные дуги, равны: $B E = C D = 26$ .
3Вписанный угол $A B E$ равен половине дуги $A E$ , не содержащей $B$ ; эта дуга равна $360° - 120° = 240°$ , поэтому $∠ A B E = 120°$ .
4По теореме косинусов в треугольнике $A B E$ : $A E^{2} = A B^{2} + B E^{2} - 2 \cdot A B \cdot B E \cdot cos 120° = 4 7^{2} + 2 6^{2} + 47 \cdot 26 = 4107$ .
5Треугольник $A B E$ вписан в ту же окружность радиуса $R$ , по теореме синусов $A E = 2 R sin ∠ A B E = 2 R sin 120° = R 3$ . Отсюда $R^{2} = \frac{A E ^{2}}{3} = \frac{4107}{3} = 1369$ , $R = 37$ .
6Ответ: $37$

Пример 3

Четырёхугольник

A B C D

со сторонами

A B = 22

C D = 4

вписан в окружность. Диагонали

A C

B D

пересекаются в точке

K

, причём

∠ A K B = 60 °

. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ответ и решение

Ответ: 14

1Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями: $∠ A K B = \frac{⌣ A B + ⌣ C D}{2}$ (дуги, не содержащие других вершин), поэтому $⌣ A B + ⌣ C D = 2 \cdot 60° = 120°$ .
2Отметим на окружности точку $E$ так, чтобы дуга $B E$ (не содержащая $A$ ) была равна дуге $C D$ . Тогда дуга $A E$ , содержащая точку $B$ , равна $⌣ A B + ⌣ B E = 120°$ , а хорды, стягивающие равные дуги, равны: $B E = C D = 4$ .
3Вписанный угол $A B E$ равен половине дуги $A E$ , не содержащей $B$ ; эта дуга равна $360° - 120° = 240°$ , поэтому $∠ A B E = 120°$ .
4По теореме косинусов в треугольнике $A B E$ : $A E^{2} = A B^{2} + B E^{2} - 2 \cdot A B \cdot B E \cdot cos 120° = 2 2^{2} + 4^{2} + 22 \cdot 4 = 588$ .
5Треугольник $A B E$ вписан в ту же окружность радиуса $R$ , по теореме синусов $A E = 2 R sin ∠ A B E = 2 R sin 120° = R 3$ . Отсюда $R^{2} = \frac{A E ^{2}}{3} = \frac{588}{3} = 196$ , $R = 14$ .
6Ответ: $14$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)