Задание 25 · часть 2 · 2 балла · про

Середина стороны AD равноудалена от всех вершин, найдите AD: задание 25 ОГЭ по математике

Все вершины лежат на окружности с центром M, и AD её диаметр. Угол ABD опирается на диаметр, поэтому прямой, и $∠ C B D = ∠ B - 90^{\circ}$ . Из суммы углов треугольника BCD найди угол BDC. По теореме синусов $A D = 2 R = \frac{B C}{\sin ∠ B D C}$ . Пример: $B C = 8 \sqrt{2}$ , углы 113° и 112°. Тогда $∠ C B D = 23^{\circ}$ , $∠ B D C = 45^{\circ}$ , $A D = \frac{8 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = 16$ .

Все типы задания 25

Проверь себя · 1 из 3

Середина

M

стороны

A D

выпуклого четырёхугольника

A B C D

равноудалена от всех его вершин. Найдите

A D

, если

B C = 19

, а углы

B

C

четырёхугольника равны соответственно

105°

135°

Как решать задание 25 ОГЭ: середина стороны равноудалена от вершин

Обоснуй, что AD диаметр описанной окружности.
Найди угол CBD через прямой угол ABD.
Найди угол BDC по сумме углов треугольника.
Найди AD по теореме синусов.

Где ошибаются. Отвечают радиусом. $\frac{B C}{\sin ∠ B D C} = 2 R$ это уже диаметр AD, и делить ещё на 2 не нужно: иначе выйдет 8 вместо 16.

Как проверить ответ. Проверь треугольник BCD: $23^{\circ} + 112^{\circ} + 45^{\circ} = 180^{\circ}$ . Затем $\frac{8 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = 8 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 16$ .

Правило

\frac{a}{\sin A} = 2 R

; вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен

90^{\circ}

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Вписанные углы и описанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: BD1CD0, C2FA52, 66B052, 1B79A1, 3272C4

Примеры с решением

Пример 1

Середина

M

стороны

A D

выпуклого четырёхугольника

A B C D

равноудалена от всех его вершин. Найдите

A D

, если

B C = 15

, а углы

B

C

четырёхугольника равны соответственно

138 °

102 °

Ответ и решение

Ответ: 30

1 $M A = M B = M C = M D$ , поэтому все вершины четырёхугольника лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R = M A$ . Точка $M$ середина $A D$ , значит, $A D$ является диаметром этой окружности: $A D = 2 R$ .
2Вписанный угол $A B D$ опирается на диаметр $A D$ , поэтому $∠ A B D = 90°$ и $∠ C B D = ∠ B - ∠ A B D = 138° - 90° = 48°$ .
3Сумма углов треугольника $B C D$ равна $180°$ : $∠ B D C = 180° - 48° - 102° = 30°$ .
4Треугольник $B C D$ вписан в ту же окружность, по теореме синусов $\frac{B C}{sin ∠ B D C} = 2 R = A D$ .
5 $A D = \frac{15}{sin 30°} = \frac{15}{\frac{1}{2}} = 30$ .
6Ответ: $30$

Пример 2

Середина

M

стороны

A D

выпуклого четырёхугольника

A B C D

равноудалена от всех его вершин. Найдите

A D

, если

B C = 18

, а углы

B

C

четырёхугольника равны соответственно

148 °

92 °

Ответ и решение

Ответ: 36

1 $M A = M B = M C = M D$ , поэтому все вершины четырёхугольника лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R = M A$ . Точка $M$ середина $A D$ , значит, $A D$ является диаметром этой окружности: $A D = 2 R$ .
2Вписанный угол $A B D$ опирается на диаметр $A D$ , поэтому $∠ A B D = 90°$ и $∠ C B D = ∠ B - ∠ A B D = 148° - 90° = 58°$ .
3Сумма углов треугольника $B C D$ равна $180°$ : $∠ B D C = 180° - 58° - 92° = 30°$ .
4Треугольник $B C D$ вписан в ту же окружность, по теореме синусов $\frac{B C}{sin ∠ B D C} = 2 R = A D$ .
5 $A D = \frac{18}{sin 30°} = \frac{18}{\frac{1}{2}} = 36$ .
6Ответ: $36$

Пример 3

Середина

M

стороны

A D

выпуклого четырёхугольника

A B C D

равноудалена от всех его вершин. Найдите

A D

, если

B C = 12 \sqrt{3}

, а углы

B

C

четырёхугольника равны соответственно

92 °

118 °

Ответ и решение

Ответ: 24

1 $M A = M B = M C = M D$ , поэтому все вершины четырёхугольника лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R = M A$ . Точка $M$ середина $A D$ , значит, $A D$ является диаметром этой окружности: $A D = 2 R$ .
2Вписанный угол $A B D$ опирается на диаметр $A D$ , поэтому $∠ A B D = 90°$ и $∠ C B D = ∠ B - ∠ A B D = 92° - 90° = 2°$ .
3Сумма углов треугольника $B C D$ равна $180°$ : $∠ B D C = 180° - 2° - 118° = 60°$ .
4Треугольник $B C D$ вписан в ту же окружность, по теореме синусов $\frac{B C}{sin ∠ B D C} = 2 R = A D$ .
5 $A D = \frac{12 3}{sin 60°} = \frac{12 3}{\frac{3}{2}} = 24$ .
6Ответ: $24$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)