Сумма углов трапеции при основании 90°, окружность через A и B касается CD: задание 25 ОГЭ по математике

Ответ: 39

1. 1Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $O$. Сумма углов треугольника $AOD$ равна $180°$, поэтому $\angle AOD=180°-(\angle A+\angle D)=90°$.
2. 2Треугольники $OBC$ и $OAD$ подобны по двум углам: угол $O$ общий, $\angle OBC=\angle OAD$ как соответственные при $BC\parallel AD$ и секущей $OA$. Значит, $\frac{OB}{OA}=\frac{BC}{AD}=\frac{30}{60}$. Так как $OA=OB+26$, получаем $60\cdot OB=30(OB+26)$, откуда $OB=\frac{30\cdot 26}{30}=26$, $OA=52$.
3. 3Обозначим через $Q$ центр окружности, через $T$ точку касания с прямой $CD$, через $L$ середину хорды $AB$. Тогда $QT\perp CD$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной) и $QL\perp AB$ (отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен хорде).
4. 4В четырёхугольнике $OLQT$ углы при вершинах $O$, $L$ и $T$ прямые, значит, это прямоугольник, и его противоположные стороны равны: $R=QT=OL$.
5. 5$L$ середина $AB$, поэтому $OL=OB+\frac{AB}{2}=26+13=39$.
6. 6Ответ: $39$

Ответ: 15

1. 1Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $O$. Сумма углов треугольника $AOD$ равна $180°$, поэтому $\angle AOD=180°-(\angle A+\angle D)=90°$.
2. 2Треугольники $OBC$ и $OAD$ подобны по двум углам: угол $O$ общий, $\angle OBC=\angle OAD$ как соответственные при $BC\parallel AD$ и секущей $OA$. Значит, $\frac{OB}{OA}=\frac{BC}{AD}=\frac{6}{54}$. Так как $OA=OB+24$, получаем $54\cdot OB=6(OB+24)$, откуда $OB=\frac{6\cdot 24}{48}=3$, $OA=27$.
3. 3Обозначим через $Q$ центр окружности, через $T$ точку касания с прямой $CD$, через $L$ середину хорды $AB$. Тогда $QT\perp CD$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной) и $QL\perp AB$ (отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен хорде).
4. 4В четырёхугольнике $OLQT$ углы при вершинах $O$, $L$ и $T$ прямые, значит, это прямоугольник, и его противоположные стороны равны: $R=QT=OL$.
5. 5$L$ середина $AB$, поэтому $OL=OB+\frac{AB}{2}=3+12=15$.
6. 6Ответ: $15$

Ответ: 26,1

1. 1Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $O$. Сумма углов треугольника $AOD$ равна $180°$, поэтому $\angle AOD=180°-(\angle A+\angle D)=90°$.
2. 2Треугольники $OBC$ и $OAD$ подобны по двум углам: угол $O$ общий, $\angle OBC=\angle OAD$ как соответственные при $BC\parallel AD$ и секущей $OA$. Значит, $\frac{OB}{OA}=\frac{BC}{AD}=\frac{36}{51}$. Так как $OA=OB+9$, получаем $51\cdot OB=36(OB+9)$, откуда $OB=\frac{36\cdot 9}{15}=21,6$, $OA=30,6$.
3. 3Обозначим через $Q$ центр окружности, через $T$ точку касания с прямой $CD$, через $L$ середину хорды $AB$. Тогда $QT\perp CD$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной) и $QL\perp AB$ (отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен хорде).
4. 4В четырёхугольнике $OLQT$ углы при вершинах $O$, $L$ и $T$ прямые, значит, это прямоугольник, и его противоположные стороны равны: $R=QT=OL$.
5. 5$L$ середина $AB$, поэтому $OL=OB+\frac{AB}{2}=21,6+4,5=26,1$.
6. 6Ответ: $26,1$