Задание 25 · часть 2 · 2 балла · про

Окружность через точки M и N на AC касается луча AB, найдите радиус: задание 25 ОГЭ по математике

По теореме о касательной и секущей $A T^{2} = A M \cdot A N$ . Центр лежит на перпендикуляре к AB через T и на перпендикуляре к AC через середину MN. Перпендикуляр через T пересекает AC в точке P, отрезки AP и TP находишь через косинус и тангенс угла A. Из треугольника с вершиной P найди часть QP, тогда $R = T P - Q P$ .

Все типы задания 25

Проверь себя · 1 из 3

Точки

M

N

лежат на стороне

A C

треугольника

A B C

на расстояниях соответственно

24

25

от вершины

A

. Найдите радиус окружности, проходящей через точки

M

N

и касающейся луча

A B

, если

cos ∠ B A C = \frac{2 6}{7}

Как решать задание 25 ОГЭ: окружность через две точки касается луча

Найди отрезок касательной AT по теореме о касательной и секущей.
Найди синус угла A и отрезки AP и TP.
Найди расстояние от P до середины MN и отрезок QP.
Вычисли радиус как разность TP и QP.

Где ошибаются. Пишут $A T^{2} = A M \cdot M N$ . В теореме о касательной и секущей стоит вся секущая от точки A: $A T^{2} = A M \cdot A N$ .

Как проверить ответ. Радиус не меньше половины хорды MN: $R^{2} = {(\frac{M N}{2})}^{2} + d^{2}$ , где d расстояние от центра до AC. Если $R < \frac{M N}{2}$ , ищи ошибку в QP.

Правило

A T^{2} = A M \cdot A N

; радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Касательная к окружности: радиус, секущая, две окружности.

Прототипы банка ФИПИ: B83171, F41EBF, A142B2, A077B6, CCD611

Примеры с решением

Пример 1

Точки

M

N

лежат на стороне

A C

треугольника

A B C

на расстояниях соответственно

8

22

от вершины

A

. Найдите радиус окружности, проходящей через точки

M

N

и касающейся луча

A B

, если

\cos ∠ B A C = \frac{\sqrt{11}}{6}

Ответ и решение

Ответ: 9,2

1Пусть окружность касается луча $A B$ в точке $T$ ; обозначим через $Q$ её центр, через $R$ радиус. По теореме о касательной и секущей (квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть) $A T^{2} = A M \cdot A N = 8 \cdot 22 = 176$ , $A T = 411$ .
2 $sin ∠ B A C = 1 - cos^{2} ∠ B A C = 1 - \frac{11}{36} = \frac{5}{6}$ .
3Радиус $QT$ перпендикулярен касательной $A B$ , поэтому центр $Q$ лежит на перпендикуляре к $A B$ , проведённом через точку $T$ . Пусть этот перпендикуляр пересекает прямую $A C$ в точке $P$ . Из прямоугольного треугольника $A T P$ : $A P = \frac{A T}{cos A} = 24$ , $T P = A T \cdot tg A = 20$ .
4Обозначим через $L$ середину $M N$ . Отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен хорде, поэтому $Q L ⊥ A C$ и $A L = \frac{8 + 22}{2} = 15$ , $L P = A P - A L = 24 - 15 = 9$ .
5В прямоугольном треугольнике $Q L P$ угол $QP L$ равен $90° - ∠ A$ (из прямоугольного треугольника $A T P$ ), поэтому $QP = \frac{L P}{cos ∠ QP L} = \frac{L P}{sin A} = \frac{9 \cdot 6}{5} = 10, 8$ .
6Точка $Q$ лежит на отрезке $T P$ , поэтому $R = QT = T P - QP = 20 - 10, 8 = 9, 2$ .
7Ответ: $9, 2$

Пример 2

Точки

M

N

лежат на стороне

A C

треугольника

A B C

на расстояниях соответственно

25

32

от вершины

A

. Найдите радиус окружности, проходящей через точки

M

N

и касающейся луча

A B

, если

\cos ∠ B A C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

Ответ и решение

Ответ: 5,5

1Пусть окружность касается луча $A B$ в точке $T$ ; обозначим через $Q$ её центр, через $R$ радиус. По теореме о касательной и секущей (квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть) $A T^{2} = A M \cdot A N = 25 \cdot 32 = 800$ , $A T = 202$ .
2 $sin ∠ B A C = 1 - cos^{2} ∠ B A C = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{3}$ .
3Радиус $QT$ перпендикулярен касательной $A B$ , поэтому центр $Q$ лежит на перпендикуляре к $A B$ , проведённом через точку $T$ . Пусть этот перпендикуляр пересекает прямую $A C$ в точке $P$ . Из прямоугольного треугольника $A T P$ : $A P = \frac{A T}{cos A} = 30$ , $T P = A T \cdot tg A = 10$ .
4Обозначим через $L$ середину $M N$ . Отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен хорде, поэтому $Q L ⊥ A C$ и $A L = \frac{25 + 32}{2} = 28, 5$ , $L P = A P - A L = 30 - 28, 5 = 1, 5$ .
5В прямоугольном треугольнике $Q L P$ угол $QP L$ равен $90° - ∠ A$ (из прямоугольного треугольника $A T P$ ), поэтому $QP = \frac{L P}{cos ∠ QP L} = \frac{L P}{sin A} = \frac{1 , 5 \cdot 6}{2} = 4, 5$ .
6Точка $Q$ лежит на отрезке $T P$ , поэтому $R = QT = T P - QP = 10 - 4, 5 = 5, 5$ .
7Ответ: $5, 5$

Пример 3

Точки

M

N

лежат на стороне

A C

треугольника

A B C

на расстояниях соответственно

16

54

от вершины

A

. Найдите радиус окружности, проходящей через точки

M

N

и касающейся луча

A B

, если

\cos ∠ B A C = \frac{2 \sqrt{6}}{7}

Ответ и решение

Ответ: 20,2

1Пусть окружность касается луча $A B$ в точке $T$ ; обозначим через $Q$ её центр, через $R$ радиус. По теореме о касательной и секущей (квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть) $A T^{2} = A M \cdot A N = 16 \cdot 54 = 864$ , $A T = 126$ .
2 $sin ∠ B A C = 1 - cos^{2} ∠ B A C = 1 - \frac{24}{49} = \frac{5}{7}$ .
3Радиус $QT$ перпендикулярен касательной $A B$ , поэтому центр $Q$ лежит на перпендикуляре к $A B$ , проведённом через точку $T$ . Пусть этот перпендикуляр пересекает прямую $A C$ в точке $P$ . Из прямоугольного треугольника $A T P$ : $A P = \frac{A T}{cos A} = 42$ , $T P = A T \cdot tg A = 30$ .
4Обозначим через $L$ середину $M N$ . Отрезок, соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен хорде, поэтому $Q L ⊥ A C$ и $A L = \frac{16 + 54}{2} = 35$ , $L P = A P - A L = 42 - 35 = 7$ .
5В прямоугольном треугольнике $Q L P$ угол $QP L$ равен $90° - ∠ A$ (из прямоугольного треугольника $A T P$ ), поэтому $QP = \frac{L P}{cos ∠ QP L} = \frac{L P}{sin A} = \frac{7 \cdot 7}{5} = 9, 8$ .
6Точка $Q$ лежит на отрезке $T P$ , поэтому $R = QT = T P - QP = 30 - 9, 8 = 20, 2$ .
7Ответ: $20, 2$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)