Окружности касаются внешним образом, найдите расстояние между AB и CD: задание 25 ОГЭ по математике

Ответ: 105

1. 1Обозначим через $O$ и $Q$ центры окружностей. Окружности касаются внешним образом, поэтому точка касания лежит на отрезке $OQ$ и $OQ=45+63=108$.
2. 2Вся картинка симметрична относительно прямой $OQ$: касательные $AC$ и $BD$ переходят друг в друга, точки $A$ и $B$, $C$ и $D$ симметричны. Поэтому хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны $OQ$; обозначим через $M$ и $N$ точки их пересечения с прямой $OQ$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны (обе перпендикулярны $OQ$), и искомое расстояние равно $MN$.
3. 3Радиусы $OA$ и $QC$ перпендикулярны касательной $AC$, значит, $OA\parallel QC$. Проведём $OH\parallel AC$ ($H$ на $QC$): $OACH$ прямоугольник, поэтому $HC=OA=45$, $QH=63-45=18$.
4. 4Пусть $\angle OQC=\gamma$. Из прямоугольного треугольника $OHQ$ (прямой угол $H$): $\cos \gamma =\frac{QH}{OQ}=\frac{18}{108}$.
5. 5$\angle AOM=\gamma$ (соответственные углы при $OA\parallel QC$ и секущей $OQ$), поэтому точка $M$ лежит на продолжении $QO$ за точку $O$, и из прямоугольного треугольника $AMO$: $OM=45\cos \gamma$. Точка $N$ лежит на отрезке $OQ$, и из прямоугольного треугольника $CNQ$: $QN=63\cos \gamma$.
6. 6 $MN=OQ+OM-QN=108-(63-45)\cdot \frac{18}{108}=108-\frac{18^2}{108}=105$.
7. 7Ответ: $105$

Ответ: 70

1. 1Обозначим через $O$ и $Q$ центры окружностей. Окружности касаются внешним образом, поэтому точка касания лежит на отрезке $OQ$ и $OQ=30+42=72$.
2. 2Вся картинка симметрична относительно прямой $OQ$: касательные $AC$ и $BD$ переходят друг в друга, точки $A$ и $B$, $C$ и $D$ симметричны. Поэтому хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны $OQ$; обозначим через $M$ и $N$ точки их пересечения с прямой $OQ$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны (обе перпендикулярны $OQ$), и искомое расстояние равно $MN$.
3. 3Радиусы $OA$ и $QC$ перпендикулярны касательной $AC$, значит, $OA\parallel QC$. Проведём $OH\parallel AC$ ($H$ на $QC$): $OACH$ прямоугольник, поэтому $HC=OA=30$, $QH=42-30=12$.
4. 4Пусть $\angle OQC=\gamma$. Из прямоугольного треугольника $OHQ$ (прямой угол $H$): $\cos \gamma =\frac{QH}{OQ}=\frac{12}{72}$.
5. 5$\angle AOM=\gamma$ (соответственные углы при $OA\parallel QC$ и секущей $OQ$), поэтому точка $M$ лежит на продолжении $QO$ за точку $O$, и из прямоугольного треугольника $AMO$: $OM=30\cos \gamma$. Точка $N$ лежит на отрезке $OQ$, и из прямоугольного треугольника $CNQ$: $QN=42\cos \gamma$.
6. 6 $MN=OQ+OM-QN=72-(42-30)\cdot \frac{12}{72}=72-\frac{12^2}{72}=70$.
7. 7Ответ: $70$

Ответ: 105

1. 1Обозначим через $O$ и $Q$ центры окружностей. Окружности касаются внешним образом, поэтому точка касания лежит на отрезке $OQ$ и $OQ=42+70=112$.
2. 2Вся картинка симметрична относительно прямой $OQ$: касательные $AC$ и $BD$ переходят друг в друга, точки $A$ и $B$, $C$ и $D$ симметричны. Поэтому хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны $OQ$; обозначим через $M$ и $N$ точки их пересечения с прямой $OQ$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны (обе перпендикулярны $OQ$), и искомое расстояние равно $MN$.
3. 3Радиусы $OA$ и $QC$ перпендикулярны касательной $AC$, значит, $OA\parallel QC$. Проведём $OH\parallel AC$ ($H$ на $QC$): $OACH$ прямоугольник, поэтому $HC=OA=42$, $QH=70-42=28$.
4. 4Пусть $\angle OQC=\gamma$. Из прямоугольного треугольника $OHQ$ (прямой угол $H$): $\cos \gamma =\frac{QH}{OQ}=\frac{28}{112}$.
5. 5$\angle AOM=\gamma$ (соответственные углы при $OA\parallel QC$ и секущей $OQ$), поэтому точка $M$ лежит на продолжении $QO$ за точку $O$, и из прямоугольного треугольника $AMO$: $OM=42\cos \gamma$. Точка $N$ лежит на отрезке $OQ$, и из прямоугольного треугольника $CNQ$: $QN=70\cos \gamma$.
6. 6 $MN=OQ+OM-QN=112-(70-42)\cdot \frac{28}{112}=112-\frac{28^2}{112}=105$.
7. 7Ответ: $105$