Задание 25 · часть 2 · 2 балла · сложный

Углы при основании трапеции в сумме 90°, найдите основания по отрезкам: задание 25 ОГЭ по математике

Продолжи боковые стороны до точки O: угол при O прямой. Медианы прямоугольных треугольников AOD и BOC равны половинам оснований и лежат на одной прямой. Отрезок между серединами оснований равен полуразности оснований, средняя линия равна полусумме. Больший из двух данных отрезков всегда средняя линия, это надо обосновать. Пример: углы 74° и 16°, отрезки 20 и 4. Полусумма 20, полуразность 4, основания 16 и 24.

Все типы задания 25

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 25 ОГЭ: основания трапеции по отрезкам между серединами

Продолжи боковые стороны и докажи, что угол при вершине прямой.
Вырази отрезок между серединами оснований через медианы.
Определи, какой из данных отрезков средняя линия.
Реши систему из полусуммы и полуразности.

Где ошибаются. Не пишут, откуда угол при O прямой. Он следует из суммы углов при большем основании: $74^{\circ} + 16^{\circ} = 90^{\circ}$ . Без прямого угла свойство медианы не работает.

Как проверить ответ. Сверь оба данных отрезка: полусумма $\frac{16 + 24}{2} = 20$ , полуразность $\frac{24 - 16}{2} = 4$ . Оба совпали, значит, основания найдены верно.

Правило

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

; если в четырёхугольник вписана окружность,

a + c = b + d

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 25: Трапеция и параллелограмм: средняя линия, площадь, вписанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: 9B51F6, 62EB73, B9101E, C5871A, 7673A9

Примеры с решением

Пример 1

Углы при одном из оснований трапеции равны

26 °

64 °

, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны

4

2

. Найдите основания трапеции.

Ответ и решение

Ответ: 2; 6

1Пусть в трапеции $A B C D$ углы $26°$ и $64°$ прилежат к основанию $A D = b$ , а $B C = a$ . Продолжим боковые стороны до пересечения в точке $O$ . Сумма углов треугольника $A O D$ равна $180°$ : $∠ A O D = 180° - 26° - 64° = 90°$ . Точки $B$ и $C$ лежат на отрезках $O A$ и $O D$ , поэтому $A D$ является большим основанием.
2Обозначим через $K$ и $L$ середины $B C$ и $A D$ . Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $O L = \frac{A D}{2}$ , $O K = \frac{B C}{2}$ (треугольник $B O C$ тоже прямоугольный).
3Точки $O$ , $K$ , $L$ лежат на одной прямой (медиана $O L$ треугольника $A O D$ делит пополам и параллельный $A D$ отрезок $B C$ ), поэтому $K L = O L - O K = \frac{A D - B C}{2}$ .
4Обозначим через $E$ и $F$ середины боковых сторон $A B$ и $C D$ . Отрезок $E F$ является средней линией трапеции, он равен $\frac{A D + B C}{2}$ и больше, чем $K L$ . Значит, $\frac{b + a}{2} = 4$ , $\frac{b - a}{2} = 2$ .
5 $b + a = 8$ , $b - a = 4$ , откуда $b = 6$ , $a = 2$ .
6Ответ: $2; 6$

Пример 2

Углы при одном из оснований трапеции равны

25 °

65 °

, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны

8

5

. Найдите основания трапеции.

Ответ и решение

Ответ: 3; 13

1Пусть в трапеции $A B C D$ углы $25°$ и $65°$ прилежат к основанию $A D = b$ , а $B C = a$ . Продолжим боковые стороны до пересечения в точке $O$ . Сумма углов треугольника $A O D$ равна $180°$ : $∠ A O D = 180° - 25° - 65° = 90°$ . Точки $B$ и $C$ лежат на отрезках $O A$ и $O D$ , поэтому $A D$ является большим основанием.
2Обозначим через $K$ и $L$ середины $B C$ и $A D$ . Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $O L = \frac{A D}{2}$ , $O K = \frac{B C}{2}$ (треугольник $B O C$ тоже прямоугольный).
3Точки $O$ , $K$ , $L$ лежат на одной прямой (медиана $O L$ треугольника $A O D$ делит пополам и параллельный $A D$ отрезок $B C$ ), поэтому $K L = O L - O K = \frac{A D - B C}{2}$ .
4Обозначим через $E$ и $F$ середины боковых сторон $A B$ и $C D$ . Отрезок $E F$ является средней линией трапеции, он равен $\frac{A D + B C}{2}$ и больше, чем $K L$ . Значит, $\frac{b + a}{2} = 8$ , $\frac{b - a}{2} = 5$ .
5 $b + a = 16$ , $b - a = 10$ , откуда $b = 13$ , $a = 3$ .
6Ответ: $3; 13$

Пример 3

Углы при одном из оснований трапеции равны

3 °

87 °

, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны

10

4

. Найдите основания трапеции.

Ответ и решение

Ответ: 6; 14

1Пусть в трапеции $A B C D$ углы $3°$ и $87°$ прилежат к основанию $A D = b$ , а $B C = a$ . Продолжим боковые стороны до пересечения в точке $O$ . Сумма углов треугольника $A O D$ равна $180°$ : $∠ A O D = 180° - 3° - 87° = 90°$ . Точки $B$ и $C$ лежат на отрезках $O A$ и $O D$ , поэтому $A D$ является большим основанием.
2Обозначим через $K$ и $L$ середины $B C$ и $A D$ . Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $O L = \frac{A D}{2}$ , $O K = \frac{B C}{2}$ (треугольник $B O C$ тоже прямоугольный).
3Точки $O$ , $K$ , $L$ лежат на одной прямой (медиана $O L$ треугольника $A O D$ делит пополам и параллельный $A D$ отрезок $B C$ ), поэтому $K L = O L - O K = \frac{A D - B C}{2}$ .
4Обозначим через $E$ и $F$ середины боковых сторон $A B$ и $C D$ . Отрезок $E F$ является средней линией трапеции, он равен $\frac{A D + B C}{2}$ и больше, чем $K L$ . Значит, $\frac{b + a}{2} = 10$ , $\frac{b - a}{2} = 4$ .
5 $b + a = 20$ , $b - a = 8$ , откуда $b = 14$ , $a = 6$ .
6Ответ: $6; 14$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 25

Все 15 типов задания 25 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)