Рациональные числа: что это, примеры и действия с ними

Целые числа: 0, 5, −12. Натуральные: 1, 2, 3 и дальше. Ноль в знаменателе стоять не может, потому что на ноль делить нельзя.

Слово «рациональный» идёт от латинского ratio, «отношение». Дробь и есть отношение двух чисел: $\frac{3}{4}$3/4 значит 3 : 4.

Рациональные числа:

• натуральные: 1, 2, 3, 100;
• ноль: 0 = 0/1;
• целые отрицательные: −1, −7, −40;
• обыкновенные дроби и смешанные числа с любым знаком: $\frac{3}{7}$3/7, $-\frac{2}{9}$-2/9, $4\frac{1}{2}$4 1/2;
• конечные десятичные дроби: 0,7, −3,14, 12,05;
• периодические дроби: 0,333… = 0,(3), 0,1666… = 0,1(6).

Не рациональны числа, у которых после запятой бесконечно много цифр без повтора. Например, √2 и π. Их называют иррациональными.

Рациональное число в десятичной записи либо обрывается, либо повторяется по кругу:

У иррационального числа цифры после запятой не кончаются и не повторяются. Длина любой окружности в π раз больше её диаметра, а π = 3,1415926…

Корень из точного квадрата рациональный: √1369 = 37, потому что 37² = 1369. Такие корни быстро находят по таблице квадратов. А √2 и √3 так не извлечь: 2 и 3 не квадраты целых чисел.

Вместе рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Корни и иррациональные числа подробно разбирают в 8 классе, в теме про квадратный корень.

На ОГЭ эти понятия тоже нужны. В кодификаторе ОГЭ на сайте ФИПИ в требованиях записано умение оперировать понятиями «рациональное число, иррациональное число, арифметический квадратный корень».

Дробная запись нужна, чтобы доказать, что число рациональное, или чтобы с ним посчитать.

• Целое число. Подпиши знаменатель 1: −6 = −6/1.
• Смешанное число. Умножь целую часть на знаменатель и прибавь числитель: $2\frac{3}{5}=\frac{2\cdot 5+3}{5}=\frac{13}{5}$2 3/5 = (2 · 5 + 3)/5 = 13/5.
• Конечная десятичная дробь. Сколько цифр после запятой, столько нулей в знаменателе. Потом сократи.

Периодические дроби, которые встречаются чаще всего: 0,(3) = 1/3, 0,(6) = 2/3, 0,(1) = 1/9. Общий способ разобран в статье как перевести десятичную дробь в обыкновенную.

Складывают, вычитают, умножают и делят рациональные числа по тем же правилам знаков, что и целые. Меняются только сами числа: вместо 3 и −5 стоят дроби.

Вычитание заменяй сложением с противоположным числом:

$-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=-\frac{3}{6}+\left(-\frac{2}{6}\right)=-\frac{5}{6}$-1/2 - 1/3 = -3/6 + (-2/6) = -5/6

Умножение и деление: одинаковые знаки дают плюс, разные дают минус.

$(-0,4)\cdot (-2,5)=1$(-0,4) · (-2,5) = 1

$\frac{3}{4}:\left(-\frac{3}{8}\right)=-\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{3}=-2$3/4 : (-3/8) = -3/4 · 8/3 = -2

Почему минус на минус даёт плюс, объясняем отдельно: правило знаков.

Порядок действий обычный: скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание. Знак определяй на каждом шаге отдельно.

Найдём значение $\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)\cdot 6$(-2/3 + 1/2) · 6.

• Шаг 1. Скобка: $-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=-\frac{1}{6}$-2/3 + 1/2 = -4/6 + 3/6 = -1/6.
• Шаг 2. Умножение: $-\frac{1}{6}\cdot 6=-1$-1/6 · 6 = -1.

Пример с десятичными дробями: −2,4 : 0,8 + 1,5 = −3 + 1,5 = −1,5.

Переместительный и сочетательный законы тоже работают. Переставь множители, если так проще:

$-0,25\cdot 7\cdot 4=(-0,25\cdot 4)\cdot 7=-7$-0,25 · 7 · 4 = (-0,25 · 4) · 7 = -7

• Решили, что дробь не бывает отрицательной. $-\frac{2}{5}$-2/5 такое же рациональное число, как $\frac{2}{5}$2/5.
• Посчитали периодическую дробь иррациональной. 0,(3) бесконечная, но цифры повторяются, и 0,(3) = 1/3.
• Сравнили отрицательные числа по модулю. −0,5 > −0,3 неверно. Правильно −0,5 < −0,3: точка −0,5 левее.
• Не сократили дробь. 0,6 = 6/10, а несократимая запись 3/5.
• Взяли правило умножения для сложения. −1,5 + (−0,7) = 2,2 неверно. Сумма двух отрицательных чисел отрицательная: −2,2.
• Забыли про ноль. Ноль рациональное число, 0 = 0/5, хотя и не натуральное.