Квадратный трёхчлен. Разложение на множители: задания

0 из 10

Квадратный трёхчлен. Разложение на множители

…

Примеры заданий с ответами

1Найдите корни квадратного трёхчлена

4 x^{2} - 36 x + 81

Корни трёхчлена являются корнями уравнения $4 x^{2} - 36 x + 81 = 0$ .
$D = (- 36)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 81 = 0$ , корень один: $x = \frac{36}{8} = 4, 5$ .
Ответ: $4, 5$ .

2Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен

x^{2} + 10 x - 24

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ являются корнями трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ , то $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
$D = 1 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24) = 196$ , $D = 14$ .
$x_{1} = \frac{- 10 - 14}{2} = - 12$ , $x_{2} = \frac{- 10 + 14}{2} = 2$ .
Здесь $a = 1$ , поэтому $x^{2} + 10 x - 24 = (x - 2) (x + 12)$ .
Ответ: $(x - 2) (x + 12)$ .

3Сократите дробь

\frac{5 x + 15}{x ^{2} - x - 12}

Корни трёхчлена $x^{2} - x - 12$ : $- 3$ и $4$ (по теореме Виета их сумма $1$ , произведение $- 12$ ), поэтому $x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4)$ .
$5 x + 15 = 5 (x + 3)$ .
$\frac{5 ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 4 )} = \frac{5}{x - 4}$ .
Ответ: $\frac{5}{x - 4}$ .

4Сократите дробь

\frac{- 6 + 17 n - 7 n ^{2}}{7 n ^{2} + 4 n - 3}

В числителе вынесем $- 1$ за скобки: $- 6 + 17 n - 7 n^{2} = - (7 n^{2} - 17 n + 6)$ .
Корни трёхчлена $7 n^{2} - 17 n + 6$ :
$D = (- 17)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 6 = 121$ , $D = 11$ .
$n_{1} = \frac{17 - 11}{14} = \frac{3}{7}$ , $n_{2} = \frac{17 + 11}{14} = 2$ .
$7 n^{2} - 17 n + 6 = 7 (n - \frac{3}{7}) (n - 2) = (7 n - 3) (n - 2)$ .
Корни трёхчлена $7 n^{2} + 4 n - 3$ :
$D = 4^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 3) = 100$ , $D = 10$ .
$n_{1} = \frac{- 4 - 10}{14} = - 1$ , $n_{2} = \frac{- 4 + 10}{14} = \frac{3}{7}$ .
$7 n^{2} + 4 n - 3 = 7 (n - \frac{3}{7}) (n + 1) = (7 n - 3) (n + 1)$ .
$\frac{- 6 + 17 n - 7 n ^{2}}{7 n ^{2} + 4 n - 3} = - \frac{( 7 n - 3 ) ( n - 2 )}{( 7 n - 3 ) ( n + 1 )} = - \frac{n - 2}{n + 1}$ .
Ответ: $- \frac{n - 2}{n + 1}$ .

5Сократите дробь

\frac{2 c ^{2} + 15 c + 18}{3 c ^{2} + 16 c - 12}

Корни трёхчлена $2 c^{2} + 15 c + 18$ :
$D = 1 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 81$ , $D = 9$ .
$c_{1} = \frac{- 15 - 9}{4} = - 6$ , $c_{2} = \frac{- 15 + 9}{4} = - 1, 5$ .
$2 c^{2} + 15 c + 18 = 2 (c + 6) (c + \frac{3}{2}) = (c + 6) (2 c + 3)$ .
Корни трёхчлена $3 c^{2} + 16 c - 12$ :
$D = 1 6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 12) = 400$ , $D = 20$ .
$c_{1} = \frac{- 16 - 20}{6} = - 6$ , $c_{2} = \frac{- 16 + 20}{6} = \frac{2}{3}$ .
$3 c^{2} + 16 c - 12 = 3 (c + 6) (c - \frac{2}{3}) = (c + 6) (3 c - 2)$ .
$\frac{2 c ^{2} + 15 c + 18}{3 c ^{2} + 16 c - 12} = \frac{( c + 6 ) ( 2 c + 3 )}{( c + 6 ) ( 3 c - 2 )} = \frac{2 c + 3}{3 c - 2}$ .
Ответ: $\frac{2 c + 3}{3 c - 2}$ .

6Значение выражения

\frac{4 a ^{2} - 1}{6 a ^{2} + 17 a + 5} : \frac{2 a + 1}{2 a + 5} + \frac{14 a + 3}{- 1 - 3 a}

при всех допустимых значениях

a

одно и то же. Найдите его.

Корни трёхчлена $6 a^{2} + 17 a + 5$ равны $- \frac{5}{2}$ и $- \frac{1}{3}$ , поэтому он равен $(2 a + 5) (3 a + 1)$ ; $4 a^{2} - 1 = (2 a - 1) (2 a + 1)$ .
$\frac{4 a ^{2} - 1}{6 a ^{2} + 17 a + 5} : \frac{2 a + 1}{2 a + 5} = \frac{( 2 a - 1 ) ( 2 a + 1 )}{( 2 a + 5 ) ( 3 a + 1 )} \cdot \frac{2 a + 5}{2 a + 1} = \frac{2 a - 1}{3 a + 1}$ .
$\frac{14 a + 3}{- 1 - 3 a} = - \frac{14 a + 3}{3 a + 1}$ .
$\frac{2 a - 1 - ( 14 a + 3 )}{3 a + 1} = \frac{- 12 a - 4}{3 a + 1} = \frac{- 4 ( 3 a + 1 )}{3 a + 1} = - 4$ .
Ответ: $- 4$ .