Преобразование рациональных выражений, 8 класс: задания

0 из 10

Преобразование рациональных выражений

…

Примеры заданий с ответами

1Найди значение выражения

\frac{x - 3}{x + 2}

при

x = 5

2Упрости

\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}

3Упрости

\frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x + 1}

и найди значение при

x = 4

Числитель — это квадрат суммы: $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ .
Сокращаем дробь на общий множитель $(x + 1)$ : $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x + 1} = x + 1$ .
Подставляем $x = 4$ : $x + 1 = 4 + 1 = 5$ .
Ответ: $5$ .

4При каком значении

x > 3

дроби

\frac{x + 2}{x - 1}

\frac{x + 5}{x + 1}

равны? Запиши значение

x

Рассмотрим разность: $\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{x + 5}{x + 1} = \frac{( x + 2 ) ( x + 1 ) - ( x + 5 ) ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$ .
Упростим числитель: $(x^{2} + 3 x + 2) - (x^{2} + 4 x - 5) = 7 - x$ . Разность равна $\frac{7 - x}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$ .
Дроби равны, когда разность равна нулю: $7 - x = 0$ , то есть $x = 7$ (и $x > 3$ выполнено).
Ответ: $x = 7$ .

5Упрости:

(\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}) \cdot \frac{a ^{2} - 1}{2}

В скобке общий знаменатель $(a - 1) (a + 1) = a^{2} - 1$ : $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1} = \frac{( a + 1 ) - ( a - 1 )}{a ^{2} - 1} = \frac{2}{a ^{2} - 1}$ .
Умножаем на $\frac{a ^{2} - 1}{2}$ : $\frac{2}{a ^{2} - 1} \cdot \frac{a ^{2} - 1}{2}$ .
Всё сокращается, остаётся $1$ .
Ответ: $1$ .

6При скольких различных целых значениях

n

дробь

\frac{n + 7}{n - 2}

принимает целое значение?

Выделим целую часть: $\frac{n + 7}{n - 2} = \frac{( n - 2 ) + 9}{n - 2} = 1 + \frac{9}{n - 2}$ .
Дробь целая, когда $\frac{9}{n - 2}$ целое, то есть $n - 2$ — делитель числа $9$ .
Делители $9$ : $\pm 1, \pm 3, \pm 9$ — всего $6$ значений, каждому отвечает своё целое $n$ .
Ответ: $6$ .