Площадь прямоугольника: задания и примеры с ответами, 8 класс

0 из 10

Площадь прямоугольника

…

Примеры заданий с ответами

1Периметр прямоугольника

A B C D

равен

48

, а

A D : A B = 3 : 1

. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть $A D = 3 x$ , $A B = x$ . Периметр: $2 (3 x + x) = 8 x = 48$ , откуда $x = 6$ .
$A D = 18$ , $A B = 6$ .
$S = A D \cdot A B = 18 \cdot 6 = 108$ .

Ответ: 108

2Биссектриса угла

B

прямоугольника

A B C D

пересекает сторону

A D

в точке

K

A K = 7

K D = 12

. Найди площадь прямоугольника.

$∠ A B K = 45°$ , в прямоугольном $△ A B K$ второй острый угол тоже $45°$ , поэтому $A B = A K = 7$ .
$A D = 7 + 12 = 19$ , $S = 7 \cdot 19 = 133$ .

Ответ: 133

3Площадь прямоугольника равна

154

, а одна из его сторон на

3

больше другой. Найдите большую сторону прямоугольника.

Пусть меньшая сторона равна $x$ , тогда большая равна $x + 3$ . $x (x + 3) = 154$ , $x^{2} + 3 x - 154 = 0$ .
$D = 3^{2} + 4 \cdot 154 = 625 = 2 5^{2}$ , $x = \frac{- 3 + 25}{2} = 11$ (второй корень отрицательный).
Большая сторона: $11 + 3 = 14$ .

Ответ: 14

4Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами

190

м и

310

м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько? В ответе укажите разность площадей в квадратных метрах.

Длина забора: $2 (190 + 310) = 1000$ м. Сторона квадратного участка: $1000 : 4 = 250$ м.
Площадь квадратного участка: $25 0^{2} = 62500$ м², прямоугольного: $190 \cdot 310 = 58900$ м².
Площадь квадратного участка больше на $62500 - 58900 = 3600$ м².

Ответ: 3600

5Прямоугольник с периметром

32

разрезали на квадрат и прямоугольник, сторона квадрата равна меньшей стороне исходного прямоугольника. Периметр получившегося прямоугольника равен

22

. Найди площадь исходного прямоугольника.

Пусть стороны $a < b$ . Квадрат $a \times a$ , остаток $a \times (b - a)$ , его периметр $2 (a + b - a) = 2 b = 22$ , $b = 11$ .
$2 (a + b) = 32$ , $a = 16 - 11 = 5$ . $S = 5 \cdot 11 = 55$ .

Ответ: 55

6Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки

5

2

. Найдите площадь прямоугольника. Если задача имеет несколько решений, в ответе укажите наибольшую из возможных площадей.

Пусть биссектриса угла $B$ прямоугольника $A B C D$ пересекает сторону $A D$ в точке $K$ . $∠ A K B = ∠ K B C$ как накрест лежащие, $∠ K B C = ∠ A B K$ , поэтому треугольник $A B K$ равнобедренный: $A B = A K$ .
$A D = 5 + 2 = 7$ . Если $A K = 5$ , то $A B = 5$ и $S = 5 \cdot 7 = 35$ .
Если $A K = 2$ , то $A B = 2$ и $S = 2 \cdot 7 = 14$ .
Задача имеет два решения, наибольшая площадь равна $35$ .

Ответ: 35