Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки, 8 класс: задания

0 из 10

Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки

…

Примеры заданий с ответами

1На стороне угла с вершиной

O

отложены равные отрезки

O A = A B = B C = C D

. Через точки

A

B

C

D

проведены параллельные прямые, которые пересекают другую сторону угла в точках

K

L

M

N

. Найдите

L N

, если

L M = 10

По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают равные отрезки и на другой стороне угла: $O K = K L = L M = M N = 10$ .
$L N$ состоит из $2$ таких отрезков: $L N = 2 \cdot 10 = 20$ .

Ответ: 20

2Параллельные прямые

M P

N Q

пересекают стороны угла с вершиной

O

: точки

M

N

лежат на одной стороне,

P

Q

на другой. Какое равенство верно?

$\frac{O N}{M N} = \frac{O P}{P Q}$
$\frac{M N}{O N} = \frac{O P}{O Q}$
$\frac{O M}{M N} = \frac{P Q}{O P}$
$\frac{O N}{O Q} = \frac{M N}{P Q}$

По теореме о пропорциональных отрезках отрезки одной стороны угла пропорциональны соответствующим отрезкам другой: $O M$ соответствует $O P$ , $M N$ соответствует $P Q$ , $O N$ соответствует $O Q$ .
$\frac{O N}{O Q} = \frac{M N}{P Q}$ : верно, отношения составлены из соответствующих отрезков.
$\frac{M N}{O N} = \frac{O P}{O Q}$ : неверно, в отношениях стоят несоответствующие отрезки.
$\frac{O N}{M N} = \frac{O P}{P Q}$ : неверно, в отношениях стоят несоответствующие отрезки.
$\frac{O M}{M N} = \frac{P Q}{O P}$ : неверно, в отношениях стоят несоответствующие отрезки.

Ответ:

\frac{O N}{O Q} = \frac{M N}{P Q}

3Прямая, параллельная стороне

B C

треугольника

A B C

, пересекает сторону

A B

в точке

M

, а сторону

A C

в точке

K

. Известно, что

A M = 11

B M = 8

K C = 12

. Найдите

A C

$M K ∥ B C$ , по теореме о пропорциональных отрезках (угол $A$ ): $\frac{A M}{M B} = \frac{A K}{K C}$ .
$\frac{11}{8} = \frac{A K}{12}$ , $A K = \frac{11 \cdot 12}{8} = 16, 5$ .
$A C = A K + K C = 16, 5 + 12 = 28, 5$ .

Ответ: 28,5

4Основания трапеции

A B C D

равны

A D = 24

B C = 16

. Диагонали

A C

B D

пересекают среднюю линию

M K

в точках

E

F

. Найдите

M E

По теореме Фалеса средняя линия $M K$ (она параллельна основаниям и проходит через середину $M$ стороны $A B$ ) делит диагонали пополам: $E$ является серединой $A C$ , $F$ является серединой $B D$ .
$M E$ является средней линией треугольника $A B C$ : $M E = 16 : 2 = 8$ . Так же $F K = 8$ (треугольник $B C D$ ).

Ответ: 8

5Точки

A

B

лежат в разных полуплоскостях относительно прямой

l

и удалены от неё на

16

15

соответственно. Найдите расстояние от середины отрезка

A B

до прямой

l

Опустим перпендикуляры $A A_{1}$ и $B B_{1}$ на прямую $l$ . Пусть $M$ середина $A B$ , $C$ середина $A B_{1}$ .
$M C$ является средней линией треугольника $A B B_{1}$ : $M C ∥ B B_{1}$ , $M C = 15 : 2 = 7, 5$ .
Прямая через $C$ , параллельная $A A_{1}$ , по теореме Фалеса проходит через середину $C_{1}$ отрезка $A_{1} B_{1}$ , и $C C_{1}$ является средней линией треугольника $A A_{1} B_{1}$ : $C C_{1} = 16 : 2 = 8$ .
Точки $M$ , $C$ , $C_{1}$ лежат на одном перпендикуляре к $l$ , $M$ между $C$ и $C_{1}$ , поэтому расстояние от $M$ до $l$ : $8 - 7, 5 = 0, 5$ .

Ответ: 0,5

6В треугольнике

A B C

отрезок

A K

(точка

K

на стороне

B C

) делит медиану

B M

в отношении

4 : 1

, считая от вершины

B

. Найдите

K C

, если

B C = 12

Пусть $O$ точка пересечения $A K$ и $B M$ . Проведём $M L ∥ A K$ , точка $L$ лежит на $B C$ .
Угол $C$ : $C L : L K = C M : M A = 1 : 1$ , значит, $K L = L C$ .
Угол $B$ , параллельные $O K$ и $M L$ : $B K : K L = B O : O M = 4 : 1$ .
$K C = 2 \cdot K L$ , поэтому $B K : K C = 4 : 2$ .
$B C$ состоит из $4 + 2 = 6$ частей по $12 : 6 = 2$ , $K C = 2 \cdot 2 = 4$ .

Ответ: 4