Расстояние между точками: формула и примеры

Расстояние между точками равно длине отрезка, который их соединяет. Отрицательным оно не бывает.

Расстояние между точками A(−3) и B(5) на координатной прямой: от −3 до 5 ровно 8 единичных отрезков.

Можно и без модуля: из большей координаты вычти меньшую, 5 − (−3) = 8. Порядок точек не важен: |−3 − 5| = |−8| = 8.

На плоскости у каждой точки две координаты: $A(x_1;y_1)$A(x₁; y₁) и $B(x_2;y_2)$B(x₂; y₂).

• Шаг 1. Найди разность абсцисс x₂ − x₁.
• Шаг 2. Найди разность ординат y₂ − y₁.
• Шаг 3. Возведи обе разности в квадрат и сложи.
• Шаг 4. Извлеки корень из суммы.

Расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6): катеты прямоугольного треугольника 3 и 4, гипотенуза AB = 5.

Запомни формулу словами: разность иксов в квадрат, плюс разность игреков в квадрат, и корень из суммы. Корень не бывает отрицательным, поэтому и расстояние всегда больше нуля или равно нулю.

На ОГЭ формула тоже пригодится. В кодификаторе ОГЭ на сайте ФИПИ в требованиях записано: «умение использовать векторы и координаты для представления данных и решения задач».

Типичная задача из контрольной: найдите расстояние между точками A(−2; 3) и B(4; −5). Координаты отрицательные, так что следи за знаками.

Разность абсцисс: 4 − (−2) = 4 + 2 = 6.

Разность ординат: −5 − 3 = −8.

$AB=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$AB = √(6² + (-8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10

Точки A(−2; 3) и B(4; −5) лежат в разных четвертях. Катеты 6 и 8, расстояние AB = 10.

Минус у −8 пропал после возведения в квадрат: $(-8{)}^2=64$(-8)² = 64. Поэтому не важно, из какой точки вычитать. Разности −2 − 4 = −6 и 3 − (−5) = 8 дадут тот же ответ.

Ещё задача. Найдите расстояние между точками A(−2; −4) и B(5; 20). Разности: 5 − (−2) = 7 и 20 − (−4) = 24.

$AB=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$AB = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25

Ответ не всегда целый. Возьмём точки A(1; 1) и B(3; 5):

$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$AB = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20

Число 20 не точный квадрат: оно лежит между 4² = 16 и 5² = 25, и в таблице квадратов его нет. Разложи его так, чтобы один множитель был квадратом: $20=4\cdot 5$20 = 4 · 5. Корень из 4 выносим за знак корня:

$\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}\approx 4,47$√20 = √(4 · 5) = 2√5 ≈ 4,47

В ответе обычно пишут $2\sqrt{5}$2√5. Приближённое значение нужно, когда в задаче просят округлить или сравнить расстояния.

Свой пример с дробями или большими числами проверь в калькуляторе расстояния между точками: он покажет решение по шагам и чертёж.

Начало координат обозначают точкой O(0; 0). Нули из формулы пропадают, и она становится короче.

От начала координат O до точки M(−6; 8): катеты 6 и 8, расстояние OM = 10.

На координатной прямой ещё проще: от точки A(a) до нуля $|a|$ единиц. Так и определяют модуль числа: точка A(−7) стоит в 7 единицах от нуля.

Если у точек одинаковые абсциссы, они лежат на одной вертикальной прямой. Расстояние тогда равно модулю разности ординат.

A(3; −1) и B(3; 6): $AB=|6-(-1)|=7$.

С одинаковыми ординатами так же: C(−4; 2) и D(5; 2), $CD=|5-(-4)|=9$.

Формула с корнем даст тот же ответ, $\sqrt{0^2+7^2}=7$√(0² + 7²) = 7, но считать дольше.

В 10–11 классе у точек по три координаты. В формулу добавляется третья разность:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

Три формулы рядом: от прямой к пространству добавляется по одной разности.

• Потеряли минус при вычитании. 5 − (−3) = 2 неверно. Верно: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.
• Забыли извлечь корень. Посчитали 3² + 4² = 25 и записали ответ 25. Верно: AB = √25 = 5.
• Извлекли корень по частям. √(3² + 4²) = 3 + 4 = 7 неверно. Сначала сложи квадраты, потом извлекай корень: √25 = 5.
• Перепутали координаты. Вычли из абсциссы одной точки ординату другой. Вычитай x из x и y из y.
• Сложили координаты вместо вычитания. Для A(1; 2) и B(4; 6) сумма 1 + 4 = 5 не даёт длину катета. Нужна разность 4 − 1 = 3.
• Оставили минус в ответе на прямой. |2 − 9| = 7, а не −7. Расстояние не бывает отрицательным.