Как решать системы уравнений: подстановка и сложение

Система это несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно. Записывают их с фигурной скобкой.

Решение системы это пара чисел $(x;y)$, которая подходит в оба уравнения сразу.

Пример. Пара $(3;2)$ решение системы $x+y=5$, $x-y=1$: $3+2=5$ и $3-2=1$.

1. Вырази одну переменную через другую из того уравнения, где это проще.
2. Подставь это выражение в другое уравнение.
3. Реши уравнение с одной переменной.
4. Найди вторую переменную.

Пример. $y=2x-1$ и $3x+y=9$.

$3x+(2x-1)=9\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$

Тогда $y=2\cdot 2-1=3$. Ответ: $(2;3)$.

Пример 1. $2x+y=7$ и $x-y=2$. Складываем: $3x=9$, $x=3$. Из первого уравнения $y=7-6=1$.

Пример 2. $2x+3y=7$ и $3x-4y=2$. Умножим первое уравнение на 4, второе на 3:

$8x+12y=28,9x-12y=6$

Складываем: $17x=34$, $x=2$. Тогда $3y=7-4$, $y=1$. Ответ: $(2;1)$.

• Подстановка, если одна переменная уже выражена ($y=2x-1$) или стоит с коэффициентом 1.
• Сложение, если коэффициенты при одной переменной противоположные или их легко уравнять умножением.

Ответ от способа не зависит. Выбирай тот, где меньше дробей.

Каждое линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую. Решение системы это точка пересечения прямых.

Пример. $y=x+1$ и $y=-x+5$ пересекаются в точке $(2;3)$: $2+1=3$ и $-2+5=3$.

• Прямые пересекаются: одно решение.
• Прямые параллельны: решений нет. Пример: $x+y=5$ и $x+y=7$.
• Прямые совпадают: бесконечно много решений. Пример: $x+y=5$ и $2x+2y=10$.

В 9 классе встречаются нелинейные системы. Чаще всего их решают подстановкой.

Пример. $x+y=5$ и $xy=6$. Из первого $y=5-x$:

$x(5-x)=6\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow x=2\text{ или }x=3$

Ответ: $(2;3)$ и $(3;2)$. Здесь пар две, обе пиши в ответ. Подобрать корни помогает теорема Виета.

В задании 13 есть системы линейных неравенств, а системы уравнений решают в задании 20: например, способом сложения. За задание 20 ставят до 2 баллов, поэтому решение записывают полностью и проверяют ответ подстановкой.

• Подставили выражение в то же уравнение. Получится верное равенство вроде $5=5$, а ответа нет. Подставляй в другое уравнение.
• Умножили только левую часть. Умножай на число всё уравнение, и правую часть тоже.
• Ошиблись со знаком при вычитании. $(9x-12y)-(8x+12y)=x-24y$, минус меняет знак у каждого слагаемого.
• Нашли $x$ и забыли $y$. Ответ системы это пара чисел.
• Записали одну пару из двух. У нелинейной системы решений бывает несколько.
• Перепутали порядок. В паре $(x;y)$ сначала $x$, потом $y$.