Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите систему ax² + y = c, bx² − y = d: задание 20 ОГЭ по математике

У $y$ в уравнениях противоположные коэффициенты, поэтому сложи уравнения почленно: $y$ исчезнет. Получится $x^{2} =$ число, обычно два значения $x = \pm k$ . Подставь $x^{2}$ в любое уравнение и найди $y$ : он одинаков для обоих $x$ . Ответ: две пары, а не одно число. Пример: $6 x^{2} + y = 3$ , $10 x^{2} - y = 13$ дают $16 x^{2} = 16$ , $x = \pm 1$ , $y = - 3$ . Ловушка: потерять пару с $x = - 1$ .

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: система, решаемая сложением

Сложи уравнения почленно.
Найди $x^{2}$ и оба значения $x$ .
Подставь в одно из уравнений и найди $y$ .
Запиши ответ парами $(x; y)$ .

Где ошибаются. Выражают $y$ из второго уравнения с неверным знаком: из $10 x^{2} - y = 13$ пишут $y = 13 - 10 x^{2} = 3$ . Верно $y = 10 x^{2} - 13 = - 3$ .

Как проверить ответ. Подставь пару в оба уравнения: $(1; - 3)$ даёт $6 - 3 = 3$ и $10 + 3 = 13$ . Для $(- 1; - 3)$ всё совпадает, ведь $x$ входит в квадрате.

Правило

Ответ системы: пары чисел

(x; y)

, каждая проверена подстановкой в оба уравнения

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Системы уравнений второй степени: сложение и подстановка.

Прототипы банка ФИПИ: 7CB2F7, 3E1CF4, E5E7B8, 290154, 149938

Примеры с решением

Пример 1

Решите систему уравнений

{\begin{cases} x^{2} + y = 6, \\ 5 x^{2} - y = 48. \end{cases}

Ответ и решение

Ответ: (-3; -3); (3; -3)

1Сложим уравнения системы, переменная $y$ сократится: $6 x^{2} = 54,$ откуда $x^{2} = 9$ , то есть $x = - 3$ или $x = 3$ .
2Из первого уравнения $y = 6 - x^{2}$ . При $x^{2} = 9$ получаем $y = 6 - 9 = - 3$ (для обоих значений $x$ ).
3Ответ: $(- 3; - 3); (3; - 3)$ .

Пример 2

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 2 x^{2} + y = 22, \\ 3 x^{2} - y = 23. \end{cases}

Ответ и решение

Ответ: (-3; 4); (3; 4)

1Сложим уравнения системы, переменная $y$ сократится: $5 x^{2} = 45,$ откуда $x^{2} = 9$ , то есть $x = - 3$ или $x = 3$ .
2Из первого уравнения $y = 22 - 2 x^{2}$ . При $x^{2} = 9$ получаем $y = 22 - 18 = 4$ (для обоих значений $x$ ).
3Ответ: $(- 3; 4); (3; 4)$ .

Пример 3

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 4 x^{2} + y = 23, \\ 9 x^{2} - y = 29. \end{cases}

Ответ и решение

Ответ: (-2; 7); (2; 7)

1Сложим уравнения системы, переменная $y$ сократится: $13 x^{2} = 52,$ откуда $x^{2} = 4$ , то есть $x = - 2$ или $x = 2$ .
2Из первого уравнения $y = 23 - 4 x^{2}$ . При $x^{2} = 4$ получаем $y = 23 - 16 = 7$ (для обоих значений $x$ ).
3Ответ: $(- 2; 7); (2; 7)$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Система с кратными левыми частямисложный
Система с одинаковым y: разложениесложный
Система с произведением и дробьюпро
Произведение двух трёхчленов, четыре корнясложный
Дробь с x² меньше xсложный
Множитель вида (a − x) и разность квадратовпро
Трёхчлены с общим корнемпро

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)