Задание 21 ОГЭ по математике: текстовая задача

Ответ: 108

1. 1Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость второго равна $x-24$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   Первый	$x$	$\frac{378}{x}$	$378$
   Второй	$x-24$	$\frac{378}{x-24}$	$378$

3. 3Второй автомобиль был в пути на 1 ч дольше первого, откуда $\frac{378}{x-24}-\frac{378}{x}=1.$
4. 4Умножим обе части на $x(x-24)$, где $x(x-24)\ne 0$, так как $x>24$: $378x-378(x-24)=1x(x-24),$ $x^2-24x-9072=0.$
5. 5Дискриминант: $D=(-24{)}^2-4\cdot 1\cdot (-9072)=36864=192^2$. Корни: $x_1=\frac{24+192}{2}=108,x_2=\frac{24-192}{2}=-84.$
6. 6Корень $-84$ не подходит по смыслу задачи: скорость не может быть отрицательной. Значит, скорость первого автомобиля равна $108$ км/ч.
7. 7Ответ: 108 км/ч.

Ответ: 21

1. 1Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час, тогда первый делает $x+15$ деталей в час.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Деталей в час	Время, ч	Всего деталей
   Первый	$x+15$	$\frac{252}{x+15}$	$252$
   Второй	$x$	$\frac{252}{x}$	$252$

3. 3Второй рабочий тратит на заказ на 5 часов больше, чем первый, откуда $\frac{252}{x}-\frac{252}{x+15}=5.$
4. 4Умножим обе части на $x(x+15)$, где $x(x+15)\ne 0$, так как $x>0$: $252(x+15)-252x=5x(x+15),$ $5x^2+75x-3780=0.$
5. 5Разделим обе части на $5$: $x^2+15x-756=0.$
6. 6Дискриминант: $D=15^2-4\cdot 1\cdot (-756)=3249=57^2$. Корни: $x_1=\frac{-15+57}{2}=21,x_2=\frac{-15-57}{2}=-36.$
7. 7Корень $-36$ не подходит по смыслу задачи: число деталей в час не может быть отрицательным. Значит, второй рабочий делает $21$ деталь в час.
8. 8Ответ: 21 деталь в час.

Ответ: 18

1. 1Пусть вторая труба пропускает $x$ литров в минуту, тогда первая пропускает $x-6$ литров в минуту.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Литров в минуту	Время, мин	Объём, л
   Первая	$x-6$	$\frac{108}{x-6}$	$108$
   Вторая	$x$	$\frac{108}{x}$	$108$

3. 3Первая труба заполняет резервуар на 3 минуты дольше второй, откуда $\frac{108}{x-6}-\frac{108}{x}=3.$
4. 4Умножим обе части на $x(x-6)$, где $x(x-6)\ne 0$, так как $x>6$: $108x-108(x-6)=3x(x-6),$ $3x^2-18x-648=0.$
5. 5Разделим обе части на $3$: $x^2-6x-216=0.$
6. 6Дискриминант: $D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-216)=900=30^2$. Корни: $x_1=\frac{6+30}{2}=18,x_2=\frac{6-30}{2}=-12.$
7. 7Корень $-12$ не подходит по смыслу задачи: труба не может пропускать отрицательное количество воды. Значит, вторая труба пропускает $18$ литров воды в минуту.
8. 8Ответ: 18 литров в минуту.

Ответ: 21

1. 1Пусть скорость велосипедиста на пути из В в А равна $x$ км/ч, тогда на пути из А в В она была $x-9$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время движения, ч	Расстояние, км
   Из А в В	$x-9$	$\frac{84}{x-9}$	$84$
   Из В в А	$x$	$\frac{84}{x}$	$84$

3. 3Всё время на обратный путь такое же, как на путь из А в В, но 3 часа из него ушло на остановку. Значит, в движении на обратном пути велосипедист был на 3 ч меньше, откуда $\frac{84}{x-9}-\frac{84}{x}=3.$
4. 4Умножим обе части на $x(x-9)$, где $x(x-9)\ne 0$, так как $x>9$: $84x-84(x-9)=3x(x-9),$ $3x^2-27x-756=0.$
5. 5Разделим обе части на $3$: $x^2-9x-252=0.$
6. 6Дискриминант: $D=(-9{)}^2-4\cdot 1\cdot (-252)=1089=33^2$. Корни: $x_1=\frac{9+33}{2}=21,x_2=\frac{9-33}{2}=-12.$
7. 7Корень $-12$ не подходит по смыслу задачи: скорость не может быть отрицательной. Значит, скорость велосипедиста на пути из В в А равна $21$ км/ч.
8. 8Ответ: 21 км/ч.

Ответ: 24

1. 1Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ км/ч. Против течения лодка идёт со скоростью $x-3$ км/ч, по течению со скоростью $x+3$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   Против течения	$x-3$	$\frac{189}{x-3}$	$189$
   По течению	$x+3$	$\frac{189}{x+3}$	$189$

3. 3На обратный путь (по течению) ушло на 2 часа меньше, откуда $\frac{189}{x-3}-\frac{189}{x+3}=2.$
4. 4Умножим обе части на $(x-3)(x+3)$, где $(x-3)(x+3)\ne 0$, так как $x>3$ (иначе лодка не смогла бы идти против течения): $189(x+3)-189(x-3)=2(x^2-9),$ $1134=2x^2-18,2x^2=1152,x^2=576.$
5. 5Отсюда $x=24$ или $x=-24$. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $24$ км/ч.
6. 6Ответ: 24 км/ч.

Ответ: 260

1. 1Пешеход идёт в ту же сторону, что и поезд, поэтому поезд движется относительно пешехода со скоростью $41-5=36$ км/ч.
2. 2Переведём скорость в метры в секунду (1 км = 1000 м, 1 ч = 3600 с): $36\text{км/ч}=\frac{36\cdot 1000}{3600}\text{м/с}=10\text{м/с}.$
3. 3Проезжая мимо пешехода, поезд проходит относительно него расстояние, равное своей длине. За 26 секунд это $10\cdot 26=260\text{м}.$
4. 4Ответ: 260 м.

Ответ: 26

1. 1Пусть получится $x$ кг высушенных фруктов. Кроме воды, во фруктах есть сухое вещество: в свежих его $100\%-86\%=14\%$, в высушенных $100\%-16\%=84\%$.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Масса, кг	Сухое вещество, %	Сухое вещество, кг
   Свежие	$156$	$14$	$156\cdot 0,14=21,84$
   Высушенные	$x$	$84$	$0,84x$

3. 3При сушке испаряется только вода, масса сухого вещества не меняется, откуда $0,84x=21,84.$
4. 4$x=21,84:0,84=26$. Получится 26 кг высушенных фруктов.
5. 5Ответ: 26 кг.

Ответ: 150

1. 1Пусть нужно $x$ кг свежих фруктов. Кроме воды, во фруктах есть сухое вещество: в свежих его $100\%-83\%=17\%$, в высушенных $100\%-25\%=75\%$.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Масса, кг	Сухое вещество, %	Сухое вещество, кг
   Свежие	$x$	$17$	$0,17x$
   Высушенные	$34$	$75$	$34\cdot 0,75=25,5$

3. 3При сушке испаряется только вода, масса сухого вещества не меняется, откуда $0,17x=25,5.$
4. 4$x=25,5:0,17=150$. Нужно 150 кг свежих фруктов.
5. 5Ответ: 150 кг.

Ответ: 16

1. 1Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна $x$ км/ч. По течению скорость равна $x+4$ км/ч, против течения $x-4$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   По течению	$x+4$	$\frac{90}{x+4}$	$90$
   Против течения	$x-4$	$\frac{90}{x-4}$	$90$

3. 3Без стоянки теплоход был в движении $31-19=12$ ч, откуда $\frac{90}{x+4}+\frac{90}{x-4}=12.$
4. 4Умножим обе части на $(x+4)(x-4)$, где $(x+4)(x-4)\ne 0$, так как $x>4$: $90(x-4)+90(x+4)=12(x^2-16),$ $180x=12x^2-192,12x^2-180x-192=0.$
5. 5Разделим обе части на $12$: $x^2-15x-16=0.$
6. 6Дискриминант: $D=(-15{)}^2-4\cdot 1\cdot (-16)=289=17^2$. Корни: $x_1=\frac{15+17}{2}=16,x_2=\frac{15-17}{2}=-1.$
7. 7Корень $-1$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость теплохода в неподвижной воде равна $16$ км/ч.
8. 8Ответ: 16 км/ч.

Ответ: 2

1. 1Пусть скорость течения равна $x$ км/ч. По течению теплоход идёт со скоростью $20+x$ км/ч, против течения со скоростью $20-x$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   По течению	$20+x$	$\frac{198}{20+x}$	$198$
   Против течения	$20-x$	$\frac{198}{20-x}$	$198$

3. 3Без стоянки теплоход был в движении $34-14=20$ ч, откуда $\frac{198}{20+x}+\frac{198}{20-x}=20.$
4. 4Умножим обе части на $(20+x)(20-x)$, где $(20+x)(20-x)\ne 0$, так как $0<x<20$: $198(20-x)+198(20+x)=20(400-x^2),$ $7920=8000-20x^2,20x^2=80,x^2=4.$
5. 5Отсюда $x=2$ или $x=-2$. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость течения равна $2$ км/ч.
6. 6Ответ: 2 км/ч.

Ответ: 24

1. 1Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. По течению баржа идёт со скоростью $x+5$ км/ч, против течения со скоростью $x-5$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   По течению	$x+5$	$\frac{87}{x+5}$	$87$
   Против течения	$x-5$	$\frac{76}{x-5}$	$76$

3. 3На весь путь ушло 7 часов, откуда $\frac{87}{x+5}+\frac{76}{x-5}=7.$
4. 4Умножим обе части на $(x+5)(x-5)$, где $(x+5)(x-5)\ne 0$, так как $x>5$: $87(x-5)+76(x+5)=7(x^2-25),$ $7x^2-163x-120=0.$
5. 5Дискриминант: $D=(-163{)}^2-4\cdot 7\cdot (-120)=29929=173^2$. Корни: $x_1=\frac{163+173}{14}=24,x_2=\frac{163-173}{14}=-\frac{5}{7}.$
6. 6Корень $-\frac{5}{7}$ не подходит по смыслу задачи: скорость не может быть отрицательной. Значит, собственная скорость баржи равна $24$ км/ч.
7. 7Ответ: 24 км/ч.

Ответ: 10,08

1. 1Пусть концентрация первого раствора равна $x\%$, второго равна $y\%$. Тогда в первом сосуде $\frac{36x}{100}$ кг кислоты, во втором $\frac{12y}{100}$ кг.
2. 2Если слить оба сосуда, получится 48 кг раствора, в котором $75\%$ кислоты, откуда $\frac{36x}{100}+\frac{12y}{100}=\frac{48\cdot 75}{100},36x+12y=3600.$
3. 3Если взять по $m$ кг каждого раствора, кислоты будет $\frac{mx}{100}+\frac{my}{100}\text{кг}$, а в $2m$ кг смеси её $\frac{2m\cdot 78}{100}\text{кг}$, откуда $x+y=156.$
4. 4Подставим $y=156-x$ в первое уравнение: $36x+12(156-x)=3600,24x=1728,x=72.$ Тогда $y=156-72=84$.
5. 5Во втором растворе кислоты $\frac{12\cdot 84}{100}=10,08\text{кг}$.
6. 6Ответ: 10,08 кг.

Ответ: 83,5

1. 1Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени движения.
2. 2Найдём время на каждом участке:

   Участок	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
   Первый	$95$	$570:95=6$	$570$
   Второй	$115$	$115:115=1$	$115$
   Третий	$50$	$150:50=3$	$150$

3. 3Весь путь равен $570+115+150=835$ км, всё время равно $6+1+3=10$ ч.
4. 4Средняя скорость: $\frac{835}{10}=83,5\text{км/ч}.$
5. 5Ответ: 83,5 км/ч.

Ответ: 71,4

1. 1Пусть половина пути равна $s$ км, тогда весь путь равен $2s$ км.
2. 2Первую половину автомобиль проехал за $\frac{s}{51}$ ч, вторую за $\frac{s}{119}$ ч, на весь путь ушло $\frac{s}{51}+\frac{s}{119}=\frac{170s}{6069}=\frac{10s}{357}\text{ч}.$
3. 3Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время: $2s:\frac{10s}{357}=\frac{2\cdot 357}{10}=71,4\text{км/ч}.$
4. 4Ответ: 71,4 км/ч.

Ответ: 77

1. 1Пусть велосипедисты встретились через $t$ ч после выезда. Второй велосипедист был в пути все $t$ ч и проехал $11t$ км.
2. 2Первый стоял 45 минут, то есть $\frac{3}{4}$ ч, поэтому ехал $t-\frac{3}{4}$ ч и проехал $12\left(t-\frac{3}{4}\right)\text{км}$.
3. 3Вместе они проехали всё расстояние между городами, откуда $11t+12\left(t-\frac{3}{4}\right)=152,23t=152+9,t=7.$
4. 4Искомое расстояние равно пути второго велосипедиста до встречи: $11\cdot 7=77$ км.
5. 5Ответ: 77 км.

Ответ: 8

1. 1Плот плывёт со скоростью течения 2 км/ч, поэтому 28 км он проплыл за $28:2=14$ ч.
2. 2Яхта вышла на 2 часа позже плота и вернулась в А в тот же момент, значит, она была в пути $14-2=12$ ч.
3. 3Пусть скорость яхты в неподвижной воде равна $x$ км/ч. Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   Из А в В (по течению)	$x+2$	$\frac{45}{x+2}$	$45$
   Из В в А (против течения)	$x-2$	$\frac{45}{x-2}$	$45$

4. 4Весь путь занял 12 часов, откуда $\frac{45}{x+2}+\frac{45}{x-2}=12.$
5. 5Умножим обе части на $(x+2)(x-2)$, где $(x+2)(x-2)\ne 0$, так как $x>2$: $45(x-2)+45(x+2)=12(x^2-4),$ $12x^2-90x-48=0.$
6. 6Разделим обе части на $6$: $2x^2-15x-8=0.$
7. 7Дискриминант: $D=(-15{)}^2-4\cdot 2\cdot (-8)=289=17^2$. Корни: $x_1=\frac{15+17}{4}=8,x_2=\frac{15-17}{4}=-\frac{1}{2}.$
8. 8Корень $-\frac{1}{2}$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость яхты в неподвижной воде равна $8$ км/ч.
9. 9Ответ: 8 км/ч.

Ответ: 7

1. 1Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч, тогда скорость второго равна $x+3$ км/ч.
2. 2За час первый пробежал $x$ км, и ему осталось 1 км до конца круга, значит, длина круга равна $x+1$ км.
3. 3Второй пробежал круг за $60-12=48$ мин, то есть за $\frac{4}{5}$ ч, значит, длина круга равна $\frac{4}{5}(x+3)$ км.
4. 4Длина круга одна и та же, откуда $x+1=\frac{4}{5}(x+3).$
5. 5Умножим обе части на 60: $60x+60=48x+144,12x=84,x=7.$
6. 6Скорость первого бегуна равна $7$ км/ч.
7. 7Ответ: 7 км/ч.

Ответ: 80

1. 1Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь равен $2s$ км. Тогда вторую половину пути второй автомобиль ехал со скоростью $x+24$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   Первый	$x$	$\frac{2s}{x}$	$2s$
   Второй, 1-я половина	$65$	$\frac{s}{65}$	$s$
   Второй, 2-я половина	$x+24$	$\frac{s}{x+24}$	$s$

3. 3Автомобили были в пути одинаковое время: $\frac{2s}{x}=\frac{s}{65}+\frac{s}{x+24}$. Разделим обе части на $s>0$, откуда $\frac{2}{x}=\frac{1}{65}+\frac{1}{x+24}.$
4. 4Умножим обе части на $65x(x+24)$, где $65x(x+24)\ne 0$, так как $x>0$: $130(x+24)=x(x+24)+65x,$ $x^2-41x-3120=0.$
5. 5Дискриминант: $D=(-41{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3120)=14161=119^2$. Корни: $x_1=\frac{41+119}{2}=80,x_2=\frac{41-119}{2}=-39.$
6. 6Корень $-39$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость первого автомобиля равна $80$ км/ч.
7. 7Ответ: 80 км/ч.

Ответ: 75

1. 1Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, где $x>70$, а весь путь равен $2s$ км. Тогда первую половину пути второй автомобиль ехал со скоростью $x-15$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   Первый	$x$	$\frac{2s}{x}$	$2s$
   Второй, 1-я половина	$x-15$	$\frac{s}{x-15}$	$s$
   Второй, 2-я половина	$100$	$\frac{s}{100}$	$s$

3. 3Автомобили были в пути одинаковое время: $\frac{2s}{x}=\frac{s}{x-15}+\frac{s}{100}$. Разделим обе части на $s>0$, откуда $\frac{2}{x}=\frac{1}{x-15}+\frac{1}{100}.$
4. 4Умножим обе части на $100x(x-15)$, где $100x(x-15)\ne 0$, так как $x>70>15$: $200(x-15)=100x+x(x-15),$ $x^2-115x+3000=0.$
5. 5Дискриминант: $D=(-115{)}^2-4\cdot 1\cdot 3000=1225=35^2$. Корни: $x_1=\frac{115+35}{2}=75,x_2=\frac{115-35}{2}=40.$
6. 6По условию скорость первого автомобиля больше 70 км/ч, поэтому корень $40$ не подходит. Значит, скорость первого автомобиля равна $75$ км/ч.
7. 7Ответ: 75 км/ч.