Постройте график кусочной функции из параболы и прямой: задание 22 ОГЭ по математике
Выдели полный квадрат в формуле параболы, чтобы сразу увидеть вершину: −x2−6x−10=−(x+3)2−1. Луч прямой строй по двум точкам, его конец на границе выколот. Особых значений m обычно три: вершина, закрашенный конец параболы и выколотый конец луча. Между ними число общих точек меняется, проверь каждый участок и каждую границу.
3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.
Как решать задание 22 ОГЭ: парабола и луч
Выдели полный квадрат и найди вершину параболы.
Посчитай значения обеих формул на границе.
Построй части и отметь закрашенные и выколотые концы.
Двигай прямую y=m и выпиши значения с нужным числом точек.
Где ошибаются.Ошибаются в знаке абсциссы вершины. Для y=−x2−6x−10x0=−2ab=−2⋅(−1)−6=−3, а не 3, и вся парабола уезжает не в ту сторону.
Как проверить ответ.Проведи на рисунке прямую y=m для каждого особого значения и сосчитай общие точки. Потом возьми по одному числу внутри каждого промежутка ответа и проверь, что точек столько, сколько просят.
Правило:
Граничная точка принадлежит той части, где стоит знак ≥ или ≤
Прототипы банка ФИПИ: 90FF4E, 447D77, 5BD2BC, 9E02BA, 68001C
Примеры с решением
Пример 1
Постройте график функции y={−x2+4x−1−x−3приx⩾−1,приx<−1. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ и решение
Ответ: [−6;−2]∪{3}
График функции на координатной плоскости.
1Функция определена при всех x: каждая формула задана на своём промежутке. Строим график по частям.
2При x⩾−1:y=−x2+4x−1=−(x−2)2+3. Это часть параболы, ветви направлены вниз, вершина (2;3) (вершина входит в эту часть, так как 2⩾−1). Ещё точки: (3;2),(4;−1). На левом конце y(−1)=−6, точка (−1;−6) закрашена.
3При x<−1:y=−x−3. Это луч прямой, строим по двум точкам: он проходит через точку (−2;−1) и подходит к точке (−1;−2), которая выколота (при x=−1 действует первая формула). При уменьшении x значения растут неограниченно.
4Прямая y=m параллельна оси Ox (при m=0 совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: m=−6 (закрашенный конец части (−1;−6)); m=−2 (выколотая точка (−1;−2)); m=3 (вершина параболы (2;3)).
5Двигаем прямую y=m снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при m<−6 одна общая точка; при −6⩽m⩽−2 две общие точки; при −2<m<3 три общие точки; при m=3 две общие точки; при m>3 одна общая точка.
6Значит, прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при −6⩽m⩽−2 и при m=3. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые y=−6,y=−2,y=3.
7Ответ: −6⩽m⩽−2;m=3, то есть m∈[−6;−2]∪{3}
Пример 2
Постройте график функции y={−x2+2x−x+3приx⩾−1,приx<−1. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ и решение
Ответ: [-3; 1)
График функции на координатной плоскости.
1Функция определена при всех x: каждая формула задана на своём промежутке. Строим график по частям.
2При x⩾−1:y=−x2+2x=−(x−1)2+1. Это часть параболы, ветви направлены вниз, вершина (1;1) (вершина входит в эту часть, так как 1⩾−1). Ещё точки: (2;0),(3;−3). На левом конце y(−1)=−3, точка (−1;−3) закрашена.
3При x<−1:y=−x+3. Это луч прямой, строим по двум точкам: он проходит через точку (−2;5) и подходит к точке (−1;4), которая выколота (при x=−1 действует первая формула). При уменьшении x значения растут неограниченно.
4Прямая y=m параллельна оси Ox (при m=0 совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: m=−3 (закрашенный конец части (−1;−3)); m=1 (вершина параболы (1;1)); m=4 (выколотая точка (−1;4)).
5Двигаем прямую y=m снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при m<−3 одна общая точка; при −3⩽m<1 две общие точки; при m=1 одна общая точка; при 1<m⩽4 общих точек нет; при m>4 одна общая точка.
6Значит, прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при −3⩽m<1. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые y=−3,y=1.
7Ответ: −3⩽m<1, то есть m∈[−3;1)
Пример 3
Постройте график функции y={−x2+8x−14−x+1приx⩾2,приx<2. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ и решение
Ответ: [−2;−1]∪{2}
График функции на координатной плоскости.
1Функция определена при всех x: каждая формула задана на своём промежутке. Строим график по частям.
2При x⩾2:y=−x2+8x−14=−(x−4)2+2. Это часть параболы, ветви направлены вниз, вершина (4;2) (вершина входит в эту часть, так как 4⩾2). Ещё точки: (5;1),(6;−2). На левом конце y(2)=−2, точка (2;−2) закрашена.
3При x<2:y=−x+1. Это луч прямой, строим по двум точкам: он проходит через точку (1;0) и подходит к точке (2;−1), которая выколота (при x=2 действует первая формула). При уменьшении x значения растут неограниченно.
4Прямая y=m параллельна оси Ox (при m=0 совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: m=−2 (закрашенный конец части (2;−2)); m=−1 (выколотая точка (2;−1)); m=2 (вершина параболы (4;2)).
5Двигаем прямую y=m снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при m<−2 одна общая точка; при −2⩽m⩽−1 две общие точки; при −1<m<2 три общие точки; при m=2 две общие точки; при m>2 одна общая точка.
6Значит, прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки при −2⩽m⩽−1 и при m=2. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые y=−2,y=−1,y=2.
7Ответ: −2⩽m⩽−1;m=2, то есть m∈[−2;−1]∪{2}
Реши такое сам
Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.
