Задание 22 ОГЭ по математике: функции и графики

Ответ: $[-10;-2]\cup \{-1\}$

1. 1Функция определена при всех $x$: каждая формула задана на своём промежутке. Строим график по частям.
2. 2При $x⩾-6$: $y=-x^2-6x-10=-(x+3{)}^2-1$. Это часть параболы, ветви направлены вниз, вершина $(-3;-1)$ (вершина входит в эту часть, так как $-3⩾-6$). Ещё точки: $(-2;-2)$, $(-1;-5)$. На левом конце $y(-6)=-10$, точка $(-6;-10)$ закрашена.
3. 3При $x<-6$: $y=-x-8$. Это луч прямой, строим по двум точкам: он проходит через точку $(-7;-1)$ и подходит к точке $(-6;-2)$, которая выколота (при $x=-6$ действует первая формула). При уменьшении $x$ значения растут неограниченно.
4. 4Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-10$ (закрашенный конец части $(-6;-10)$); $m=-2$ (выколотая точка $(-6;-2)$); $m=-1$ (вершина параболы $(-3;-1)$).
5. 5Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-10$ одна общая точка; при $-10⩽m⩽-2$ две общие точки; при $-2<m<-1$ три общие точки; при $m=-1$ две общие точки; при $m>-1$ одна общая точка.
6. 6Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $-10⩽m⩽-2$ и при $m=-1$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-10$, $y=-2$, $y=-1$.
7. 7Ответ: $-10⩽m⩽-2$; $m=-1$, то есть $m\in [-10;-2]\cup \{-1\}$

Ответ: $(-0,5;0)\cup (1;2)$

1. 1Функция определена при всех $x$. График состоит из двух лучей и отрезка, каждую часть строим по двум точкам.
2. 2При $x<0$: $y=x+2$: луч, функция возрастает. Он проходит через точку $(-1;1)$ и подходит к точке $(0;2)$, которая выколота.
3. 3При $0⩽x⩽1$: $y=-x+1$: отрезок с концами $(0;1)$ и $(1;0)$ (оба конца закрашены), функция убывает.
4. 4При $x>1$: $y=x-1,5$: луч из выколотой точки $(1;-0,5)$ через точку $(2;0,5)$, функция возрастает.
5. 5Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-0,5$ (выколотая точка $(1;-0,5)$); $m=0$ (закрашенный конец части $(1;0)$); $m=1$ (закрашенный конец части $(0;1)$); $m=2$ (выколотая точка $(0;2)$).
6. 6Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m⩽-0,5$ одна общая точка; при $-0,5<m<0$ две общие точки; при $0⩽m⩽1$ три общие точки; при $1<m<2$ две общие точки; при $m⩾2$ одна общая точка.
7. 7Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $-0,5<m<0$ и при $1<m<2$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-0,5$, $y=0$, $y=1$, $y=2$.
8. 8Ответ: $-0,5<m<0$; $1<m<2$, то есть $m\in (-0,5;0)\cup (1;2)$

Ответ: -0,25; 0

1. 1Функция определена при всех $x$. Раскроем модуль, рассмотрев оба случая.
2. 2Случай $x⩾2$: $|x-2|=x-2$, $y=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$: часть параболы, ветви направлены вверх, нули $2$ и $3$, вершина $(2,5;-0,25)$ (она лежит на этой части).
3. 3Случай $x<2$: $|x-2|=-(x-2)$, $y=x^2+x-6=(x-2)(x+3)$: часть параболы, ветви направлены вверх, нули $-3$ и $2$, вершина $(-0,5;-6,25)$ (она лежит на этой части).
4. 4Части стыкуются в точке $(2;0)$. График похож на букву «W»: две «ямы» с вершинами $(-0,5;-6,25)$ и $(2,5;-0,25)$, между ними точка излома $(2;0)$ (она принадлежит графику). Выколотых точек нет.
5. 5Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-6,25$ (вершина параболы $(-0,5;-6,25)$); $m=-0,25$ (вершина параболы $(2,5;-0,25)$); $m=0$ (закрашенный конец части $(2;0)$).
6. 6Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-6,25$ общих точек нет; при $m=-6,25$ одна общая точка; при $-6,25<m<-0,25$ две общие точки; при $m=-0,25$ три общие точки; при $-0,25<m<0$ четыре общие точки; при $m=0$ три общие точки; при $m>0$ две общие точки.
7. 7Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки при $m=-0,25$ и при $m=0$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-0,25$, $y=0$.
8. 8Ответ: $m=-0,25$; $m=0$, то есть $m\in \{-0,25;0\}$

Ответ: -9; 16

1. 1Функция определена при всех $x$. Раскроем модуль, рассмотрев оба случая.
2. 2Случай $x⩾0$: $|x|=x$, $y=x(x+1)-7x=x^2-6x$: часть параболы, ветви направлены вверх, вершина $(3;-9)$; она проходит через точки $(0;0)$ и $(6;0)$.
3. 3Случай $x<0$: $|x|=-x$, $y=-x(x+1)-7x=-x^2-8x$: часть параболы, ветви направлены вниз, вершина $(-4;16)$; нули $-8$ и $0$.
4. 4Обе вершины лежат на своих частях (абсцисса правой вершины положительна, левой отрицательна), части стыкуются в начале координат $(0;0)$. Выколотых точек нет.
5. 5Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-9$ (вершина параболы $(3;-9)$); $m=16$ (вершина параболы $(-4;16)$).
6. 6Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-9$ одна общая точка; при $m=-9$ две общие точки; при $-9<m<16$ три общие точки; при $m=16$ две общие точки; при $m>16$ одна общая точка.
7. 7Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=-9$ и при $m=16$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-9$, $y=16$.
8. 8Ответ: $m=-9$; $m=16$, то есть $m\in \{-9;16\}$

Ответ: -0,75

1. 1Область определения: $x\ne -1$. Вынесем $x$ в числителе: $0,75x^2+0,75x=0,75x(x+1)$.
2. 2При $x\ne -1$ сократим на $x+1$: $y=0,75x|x|$.
3. 3Раскроем модуль. Случай $x⩾0$: $y=0,75x^2$, правая половина параболы ветвями вверх с вершиной $(0;0)$, проходит через точки $(1;0,75)$ и $(2;3)$. Случай $x<0$: $y=-0,75x^2$, левая половина параболы ветвями вниз, проходит через точки $(-1;-0,75)$ и $(-2;-3)$. Части стыкуются в начале координат, функция возрастает и принимает все значения.
4. 4Из графика выколота точка с абсциссой $-1$: $y=0,75\cdot (-1)\cdot |-1|=-0,75$, это точка $(-1;-0,75)$. Каждое значение, кроме $-0,75$, функция принимает ровно один раз.
5. 5Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-0,75$ (выколотая точка $(-1;-0,75)$).
6. 6Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-0,75$ одна общая точка; при $m=-0,75$ общих точек нет; при $m>-0,75$ одна общая точка.
7. 7Значит, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=-0,75$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-0,75$.
8. 8Ответ: $m=-0,75$

Ответ: 0,09

1. 1Область определения: $3x^2+10x\ne 0$, то есть $x(3x+10)\ne 0$: $x\ne 0$ и $x\ne -\frac{10}{3}$.
2. 2Сократим дробь на $3x+10$: $y=\frac{1}{x}$. График: гипербола с ветвями в I и III четвертях, из неё выколота точка $\left(-\frac{10}{3};-0,3\right)$.
3. 3Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. При $k⩽0$ она лежит в других четвертях (или совпадает с осью $Ox$) и с гиперболой не пересекается. При $k>0$ уравнение $\frac{1}{x}=kx$ даёт $x^2=\frac{1}{k}$: две общие точки, симметричные относительно начала координат.
4. 4Ровно одна общая точка останется, если одна из этих двух точек выколота, то есть прямая проходит через $\left(-\frac{10}{3};-0,3\right)$: $k=-0,3:\left(-\frac{10}{3}\right)=0,09$. Симметричная ей точка $\left(\frac{10}{3};0,3\right)$ лежит на графике.
5. 5На рисунке пунктиром показаны прямые $y=0,09x$.
6. 6Ответ: $k=0,09$

Ответ: 0; 0,5

1. 1Область определения: $x^2+2x\ne 0$, то есть $x(x+2)\ne 0$: $x\ne 0$ и $x\ne -2$.
2. 2Сократим дробь: $\frac{x+2}{x(x+2)}=\frac{1}{x}$, значит $y=-\frac{1}{x}$.
3. 3График: гипербола $y=-\frac{1}{x}$ (ветви во II и IV четвертях): асимптоты $x=0$ и $y=0$, значение $0$ функция не принимает. Точки для построения: $(1;-1)$, $(-1;1)$, $(2;-0,5)$, $(-2;0,5)$.
4. 4Из графика выколота точка с абсциссой $-2$: $y(-2)=-\frac{1}{(-2)}=0,5$, это точка $(-2;0,5)$.
5. 5Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=0$ (асимптота $y=0$, то есть ось $Ox$); $m=0,5$ (выколотая точка $(-2;0,5)$).
6. 6Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<0$ одна общая точка; при $m=0$ общих точек нет; при $0<m<0,5$ одна общая точка; при $m=0,5$ общих точек нет; при $m>0,5$ одна общая точка.
7. 7Значит, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=0$ и при $m=0,5$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=0$, $y=0,5$.
8. 8Ответ: $m=0$; $m=0,5$, то есть $m\in \{0;0,5\}$

Ответ: 2; 3

1. 1Функция определена при всех $x$: формула $-\frac{9}{x}$ используется только при $x<-3$, где $x\ne 0$. Строим график по частям.
2. 2При $x⩾-3$: $y=x^2+4x+6=(x+2{)}^2+2$. Это часть параболы, ветви направлены вверх, вершина $(-2;2)$ (вершина входит в эту часть, так как $-2>-3$). Ещё точки: $(-3;3)$, $(-1;3)$. На левом конце $y(-3)=3$, точка $(-3;3)$ закрашена.
3. 3При $x<-3$: $y=-\frac{9}{x}$. Это часть ветви гиперболы во второй координатной четверти, асимптота $y=0$ (ось $Ox$). Она проходит через точку $(-6;1,5)$; при $x\to -\infty$ значения положительны и стремятся к нулю, при $x\to -3$ значения стремятся к $-\frac{9}{(-3)}=3$; точка $(-3;3)$ на гиперболе выколота. Значения этой части заполняют промежуток $(0;3)$. Парабола при $x=-3$ даёт то же значение $3$, поэтому точка $(-3;3)$ принадлежит графику и график непрерывен.
4. 4Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=0$ (асимптота $y=0$, то есть ось $Ox$); $m=2$ (вершина параболы $(-2;2)$); $m=3$ (закрашенный конец части $(-3;3)$).
5. 5Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m⩽0$ общих точек нет; при $0<m<2$ одна общая точка; при $m=2$ две общие точки; при $2<m<3$ три общие точки; при $m=3$ две общие точки; при $m>3$ одна общая точка.
6. 6Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=2$ и при $m=3$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=2$, $y=3$.
7. 7Ответ: $m=2$; $m=3$, то есть $m\in \{2;3\}$

Ответ: -6,25; 0; 6,25

1. 1Область определения: $|x|-2,5x^2\ne 0$, то есть $|x|(1-2,5|x|)\ne 0$: $x\ne 0$ и $|x|\ne \frac{2}{5}$, т. е. $x\ne \pm \frac{2}{5}$.
2. 2Числитель равен $-(1-2,5|x|)$, поэтому после сокращения на $1-2,5|x|$ получаем $y=-\frac{1}{|x|}$.
3. 3При $x>0$: $y=-\frac{1}{x}$, при $x<0$: $y=\frac{1}{x}$. График: две ветви гиперболы, симметричные относительно оси $Oy$, ниже оси $Ox$ (в III и IV четвертях). Из них выколоты точки $\left(\frac{2}{5};-2,5\right)$ и $\left(-\frac{2}{5};-2,5\right)$.
4. 4Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. При $k=0$ это ось $Ox$: с графиком она не пересекается.
5. 5При $k<0$ прямая проходит через IV четверть и пересекает правую ветвь ровно в одной точке ($-\frac{1}{x}=kx$, $x^2=-\frac{1}{k}$), с левой ветвью общих точек нет. Так же при $k>0$ есть ровно одна общая точка с левой ветвью.
6. 6Эта единственная точка пропадает, если она выколотая. Прямая через $\left(\frac{2}{5};-2,5\right)$: $k=-2,5:\frac{2}{5}=-6,25$; через $\left(-\frac{2}{5};-2,5\right)$: $k=6,25$.
7. 7Итак, общих точек нет при $k=-6,25$, $k=0$ и $k=6,25$.
8. 8На рисунке пунктиром показаны прямые $y=-6,25x$, $y=0$, $y=6,25x$.
9. 9Ответ: $k=-6,25$; $k=0$; $k=6,25$, то есть $k\in \{-6,25;0;6,25\}$

Ответ: -1,25; -1; 1

1. 1Область определения: $x\ne 1$. При $x\ne 1$: $\frac{x-1}{1-x}=-1$, значит $y=-(x^2+0,25)=-x^2-0,25$.
2. 2График: парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-0,25)$, из которой выколота точка $(1;-1,25)$.
3. 3Прямая $y=kx$ касается параболы, когда уравнение $-x^2-0,25=kx$, то есть $x^2+kx+0,25=0$, имеет один корень: $D=k^2-1=0$, $k=\pm 1$. Точка касания $x=-\frac{k}{2}$: при $k=1$ это $x=-0,5$, при $k=-1$ это $x=0,5$.
4. 4Обе точки касания не совпадают с выколотой, поэтому $k=\pm 1$ подходят.
5. 5Ещё одна общая точка остаётся, если прямая пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколота. Прямая через $(1;-1,25)$: $k=-1,25:1=-1,25$. Тогда в уравнении $x^2+kx+0,25=0$ один корень $1$, а второй по теореме Виета $x=0,25:1=0,25$; он не выколот, значит общая точка ровно одна.
6. 6При остальных $k$ общих точек с графиком нет или их две. Итак, ровно одна общая точка при $k=-1,25$, $k=-1$, $k=1$.
7. 7На рисунке пунктиром показаны прямые $y=-1,25x$, $y=-x$, $y=x$.
8. 8Ответ: $k=-1,25$; $k=-1$; $k=1$, то есть $k\in \{-1,25;-1;1\}$

Ответ: -1; 1

1. 1Область определения: $x\ne 0$. Если $\frac{x}{3,5}⩾\frac{3,5}{x}$, то модуль раскрывается со знаком плюс и $y=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{3,5}-\frac{3,5}{x}+\frac{x}{3,5}+\frac{3,5}{x}\right)=\frac{x}{3,5}$; иначе $y=\frac{1}{2}\left(\frac{3,5}{x}-\frac{x}{3,5}+\frac{x}{3,5}+\frac{3,5}{x}\right)=\frac{3,5}{x}$. То есть $y$ равно большему из чисел $\frac{x}{3,5}$ и $\frac{3,5}{x}$.
2. 2Решим $\frac{x}{3,5}⩾\frac{3,5}{x}$. При $x>0$ умножим на $3,5x>0$: $x^2⩾12,25$, $x⩾3,5$. При $x<0$ умножаем на отрицательное число, знак меняется: $x^2⩽12,25$, $-3,5⩽x<0$.
3. 3Значит, $y=\frac{x}{3,5}$ при $x⩾3,5$ и при $-3,5⩽x<0$; $y=\frac{3,5}{x}$ при $0<x<3,5$ и при $x<-3,5$.
4. 4При $x>0$: ветвь гиперболы $y=\frac{3,5}{x}$ убывает (от $+\infty$ при $x\to 0$) до точки $(3,5;1)$, дальше луч прямой $y=\frac{x}{3,5}$ возрастает. Наименьшее значение на этой части $1$ (в точке $(3,5;1)$).
5. 5При $x<0$: ветвь гиперболы $y=\frac{3,5}{x}$ убывает от значений, близких к $0$, до $-1$ (точка $(-3,5;-1)$ ей не принадлежит), затем отрезок прямой $y=\frac{x}{3,5}$ возрастает от точки $(-3,5;-1)$ (закрашена) до выколотой точки $(0;0)$. Значения этой части заполняют $[-1;0)$.
6. 6Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-1$ (закрашенный конец части $(-3,5;-1)$); $m=0$ (выколотая точка $(0;0)$, асимптота $y=0$, то есть ось $Ox$); $m=1$ (закрашенный конец части $(3,5;1)$).
7. 7Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-1$ общих точек нет; при $m=-1$ одна общая точка; при $-1<m<0$ две общие точки; при $0⩽m<1$ общих точек нет; при $m=1$ одна общая точка; при $m>1$ две общие точки.
8. 8Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $m=-1$ и при $m=1$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-1$, $y=1$.
9. 9Ответ: $m=-1$; $m=1$, то есть $m\in \{-1;1\}$