Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите уравнение x⁴ = (ax + b)²: задание 20 ОГЭ по математике

Здесь $x^{4} = (x^{2})^{2}$ , поэтому перенеси правую часть влево и разложи по формуле разности квадратов. Получатся два квадратных уравнения: $x^{2} = a x + b$ и $x^{2} = - (a x + b)$ . Обычно у одного из них дискриминант отрицательный, это нужно записать явно. Ошибка: извлечь корень и написать только $x^{2} = a x + b$ , потеряв второй случай.

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: четвёртая степень равна квадрату двучлена

Перенеси всё влево: $x^{4} - (a x + b)^{2} = 0$ .
Разложи по формуле разности квадратов на два множителя.
Приравняй каждый множитель к нулю и найди дискриминанты.
Собери все действительные корни в ответ.

Где ошибаются. Во втором множителе теряют знак у числа: из $x^{2} + (x - 6)$ пишут $x^{2} + x + 6$ . Скобку раскрывают целиком: $x^{2} + x - 6$ , и именно эта скобка даёт корни.

Как проверить ответ. Подставь корни в исходное уравнение: для $x^{4} = (x - 6)^{2}$ при $x = 2$ обе части равны 16, при $x = - 3$ слева 81, справа $(- 9)^{2} = 81$ .

Правило

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

;

A B = 0 \Leftrightarrow A = 0

или

B = 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Уравнения третьей и четвёртой степени: разложение на множители.

Прототипы банка ФИПИ: 0260D6, 478148, 193429, 424AC9, 727066

Примеры с решением

Пример 1

Решите уравнение

x^{4} = (5 x - 36)^{2}

Ответ и решение

Ответ: -9; 4

1Перенесём всё в левую часть: $x^{4} - (5 x - 36)^{2} = 0.$
2Разложим по формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , где $a = x^{2}$ , $b = 5 x - 36$ : $(x^{2} - (5 x - 36)) (x^{2} + 5 x - 36) = 0,$ $(x^{2} - 5 x + 36) (x^{2} + 5 x - 36) = 0.$
3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
41) $x^{2} - 5 x + 36 = 0$ : $D = 5^{2} - 4 \cdot 36 = - 119 < 0$ , корней нет.
52) $x^{2} + 5 x - 36 = 0$ , $D = 5^{2} + 4 \cdot 36 = 169 = 1 3^{2}$ , $x_{1} = \frac{- 5 - 13}{2} = - 9$ , $x_{2} = \frac{- 5 + 13}{2} = 4$ .
6Ответ: $- 9; 4$ .

Пример 2

Решите уравнение

x^{4} = (4 x - 12)^{2}

Ответ и решение

Ответ: -6; 2

1Перенесём всё в левую часть: $x^{4} - (4 x - 12)^{2} = 0.$
2Разложим по формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , где $a = x^{2}$ , $b = 4 x - 12$ : $(x^{2} - (4 x - 12)) (x^{2} + 4 x - 12) = 0,$ $(x^{2} - 4 x + 12) (x^{2} + 4 x - 12) = 0.$
3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
41) $x^{2} - 4 x + 12 = 0$ : $D = 4^{2} - 4 \cdot 12 = - 32 < 0$ , корней нет.
52) $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ , $D = 4^{2} + 4 \cdot 12 = 64 = 8^{2}$ , $x_{1} = \frac{- 4 - 8}{2} = - 6$ , $x_{2} = \frac{- 4 + 8}{2} = 2$ .
6Ответ: $- 6; 2$ .

Пример 3

Решите уравнение

x^{4} = (x - 6)^{2}

Ответ и решение

Ответ: -3; 2

1Перенесём всё в левую часть: $x^{4} - (x - 6)^{2} = 0.$
2Разложим по формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , где $a = x^{2}$ , $b = x - 6$ : $(x^{2} - (x - 6)) (x^{2} + x - 6) = 0,$ $(x^{2} - x + 6) (x^{2} + x - 6) = 0.$
3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
41) $x^{2} - x + 6 = 0$ : $D = 1^{2} - 4 \cdot 6 = - 23 < 0$ , корней нет.
52) $x^{2} + x - 6 = 0$ , $D = 1^{2} + 4 \cdot 6 = 25 = 5^{2}$ , $x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ .
6Ответ: $- 3; 2$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Кубическое уравнение, группировка слагаемыхсложный
Общая скобка и полный квадратсложный
Биквадратное уравнение со сдвигомсложный
Замена t = 1/xсложный
Сумма двух квадратов равна нулюсложный
Одинаковый корень в обеих частяхсложный
Замена t = 1/(x + a)про

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)