Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите уравнение x² + px + √(a − x) = √(a − x) + q: задание 20 ОГЭ по математике

Корень $\sqrt{a - x}$ стоит в обеих частях, его можно вычесть, но сначала запиши условие $x \leq a$ . После этого остаётся квадратное уравнение, у которого обычно два корня. Часто один из них больше $a$ и не подходит. Если корень равен $a$ , под корнем нуль, и он входит в ответ. Весь балл в этом типе держится на отборе: без записи условия решение не считается обоснованным.

Все типы задания 20

Проверь себя · 1 из 3

Решите уравнение

x^{2} - 2 x + 5 - x = 5 - x + 35

Как решать задание 20 ОГЭ: одинаковый корень в обеих частях

Запиши условие существования корня: $a - x \geq 0$ .
Вычти одинаковый корень из обеих частей.
Реши квадратное уравнение.
Проверь каждый корень по условию $x \leq a$ : в ответ идут только подходящие.

Где ошибаются. Записывают условие с неверным знаком: из $5 - x \geq 0$ получают $x \geq 5$ . При переносе $x$ знак меняется: $x \leq 5$ , и отбор корней идёт наоборот.

Как проверить ответ. Подставь каждый корень в подкоренное выражение: для $\sqrt{5 - x}$ и корней $- 4$ и 8 выходит 9 и $- 3$ . Отрицательное под корнем: корень не годится. Ноль годится, как $x = 7$ при $\sqrt{7 - x}$ .

Правило

A^{2} + B^{2} = 0 \Leftrightarrow A = 0

B = 0

;

\sqrt{f (x)}

существует при

f (x) \geq 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Сумма квадратов, уравнение с корнем и значение выражения.

Прототипы банка ФИПИ: 4BCAFD, 27B07D, C8CB59, F38DEF, DC6888

Примеры с решением

Пример 1

Решите уравнение

x^{2} - 4 x + \sqrt{7 - x} = \sqrt{7 - x} + 21

Ответ и решение

Ответ: -3; 7

1Ограничение: подкоренное выражение неотрицательно, $7 - x ⩾ 0$ , то есть $x ⩽ 7$ .
2При этом условии вычтем из обеих частей $7 - x$ и перенесём $21$ в левую часть: $x^{2} - 4 x - 21 = 0.$
3 $x^{2} - 4 x - 21 = 0$ , $D = (- 4)^{2} + 4 \cdot 21 = 100 = 1 0^{2}$ , $x_{1} = \frac{4 - 10}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7$ .
4Оба корня удовлетворяют условию $x ⩽ 7$ (при $x = 7$ под корнем нуль, корень определён).
5Ответ: $- 3; 7$ .

Пример 2

Решите уравнение

x^{2} - 4 x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 32

Ответ и решение

Ответ: -4

1Ограничение: подкоренное выражение неотрицательно, $5 - x ⩾ 0$ , то есть $x ⩽ 5$ .
2При этом условии вычтем из обеих частей $5 - x$ и перенесём $32$ в левую часть: $x^{2} - 4 x - 32 = 0.$
3 $x^{2} - 4 x - 32 = 0$ , $D = (- 4)^{2} + 4 \cdot 32 = 144 = 1 2^{2}$ , $x_{1} = \frac{4 - 12}{2} = - 4$ , $x_{2} = \frac{4 + 12}{2} = 8$ .
4Корень $x = 8$ не подходит: $8 > 5$ , и выражение $5 - x$ при нём не определено. Корень $x = - 4$ удовлетворяет условию $x ⩽ 5$ .
5Ответ: $- 4$ .

Пример 3

Решите уравнение

x^{2} - 5 x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 24

Ответ и решение

Ответ: -3

1Ограничение: подкоренное выражение неотрицательно, $6 - x ⩾ 0$ , то есть $x ⩽ 6$ .
2При этом условии вычтем из обеих частей $6 - x$ и перенесём $24$ в левую часть: $x^{2} - 5 x - 24 = 0.$
3 $x^{2} - 5 x - 24 = 0$ , $D = (- 5)^{2} + 4 \cdot 24 = 121 = 1 1^{2}$ , $x_{1} = \frac{5 - 11}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{5 + 11}{2} = 8$ .
4Корень $x = 8$ не подходит: $8 > 6$ , и выражение $6 - x$ при нём не определено. Корень $x = - 3$ удовлетворяет условию $x ⩽ 6$ .
5Ответ: $- 3$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Система, решаемая сложениемсложный
Система с кратными левыми частямисложный
Система с одинаковым y: разложениесложный
Произведение двух трёхчленов, четыре корнясложный
Система с произведением и дробьюпро
Множитель вида (a − x) и разность квадратовпро
Трёхчлены с общим корнемпро

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)