Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите уравнение 1/x² + a/x + b = 0: задание 20 ОГЭ по математике

Заметь, что $\frac{1}{x^{2}} = {(\frac{1}{x})}^{2}$ , и введи $t = \frac{1}{x}$ , $x \neq 0$ . Получится $t^{2} + a t + b = 0$ . Найди $t$ и переверни: $x = \frac{1}{t}$ . Ответ часто дробный: записывай обыкновенные дроби, не округляй. Пример: $\frac{1}{x^{2}} + \frac{9}{x} + 20 = 0$ даёт $t^{2} + 9 t + 20 = 0$ , откуда $t = - 5$ или $t = - 4$ . Обратная замена: $x = - \frac{1}{5}$ и $x = - \frac{1}{4}$ . Частая ловушка: записать в ответ значения $t$ , забыв их перевернуть.

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: замена t = 1/x

Запиши условие $x \neq 0$ .
Сделай замену $t = \frac{1}{x}$ .
Реши квадратное уравнение относительно $t$ .
Найди $x = \frac{1}{t}$ для каждого корня.

Где ошибаются. Путают знаки корней в теореме Виета: у $t^{2} + 9 t + 20 = 0$ сумма корней $- 9$ , произведение 20, поэтому оба корня отрицательны, $- 4$ и $- 5$ .

Как проверить ответ. Подставь $x = - \frac{1}{4}$ в исходное уравнение: $\frac{1}{x^{2}} = 16$ , $\frac{9}{x} = - 36$ , и $16 - 36 + 20 = 0$ .

Правило

t = (x - a)^{2}

t \geq 0

;

t = \frac{1}{x}

x \neq 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Биквадратные уравнения и замена переменной.

Прототипы банка ФИПИ: 7A30BC, DA1518, 74F954, 7033CA, E5318F

Примеры с решением

Пример 1

Решите уравнение

\frac{1}{x^{2}} - \frac{9}{x} + 20 = 0

Ответ и решение

Ответ: $\frac{1}{5}; \frac{1}{4}$

1Уравнение имеет смысл при $x \neq = 0$ . Сделаем замену $t = \frac{1}{x}$ , тогда $\frac{1}{x ^{2}} = t^{2}$ : $t^{2} - 9 t + 20 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = 4$ , $t_{2} = 5$ : их сумма равна $9$ , произведение равно $20$ .
3Обратная замена: $\frac{1}{x} = 4$ , откуда $x = \frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{x} = 5$ , откуда $x = \frac{1}{5}$ .
4Ответ: $\frac{1}{5}; \frac{1}{4}$ .

Пример 2

Решите уравнение

\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x} - 7 = 0

Ответ и решение

Ответ: $- 1; \frac{1}{7}$

1Уравнение имеет смысл при $x \neq = 0$ . Сделаем замену $t = \frac{1}{x}$ , тогда $\frac{1}{x ^{2}} = t^{2}$ : $t^{2} - 6 t - 7 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = - 1$ , $t_{2} = 7$ : их сумма равна $6$ , произведение равно $- 7$ .
3Обратная замена: $\frac{1}{x} = - 1$ , откуда $x = - 1$ ; $\frac{1}{x} = 7$ , откуда $x = \frac{1}{7}$ .
4Ответ: $- 1; \frac{1}{7}$ .

Пример 3

Решите уравнение

\frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x} + 12 = 0

Ответ и решение

Ответ: $- \frac{1}{3}; - \frac{1}{4}$

1Уравнение имеет смысл при $x \neq = 0$ . Сделаем замену $t = \frac{1}{x}$ , тогда $\frac{1}{x ^{2}} = t^{2}$ : $t^{2} + 7 t + 12 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = - 4$ , $t_{2} = - 3$ : их сумма равна $- 7$ , произведение равно $12$ .
3Обратная замена: $\frac{1}{x} = - 4$ , откуда $x = - \frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{x} = - 3$ , откуда $x = - \frac{1}{3}$ .
4Ответ: $- \frac{1}{3}; - \frac{1}{4}$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Замена t = 1/(x + a)про
Сумма двух квадратов равна нулюсложный
Одинаковый корень в обеих частяхсложный
Система, решаемая сложениемсложный
Система с кратными левыми частямисложный
Система с одинаковым y: разложениесложный
Система с произведением и дробьюпро

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)