Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите уравнение (x − a)⁴ + p(x − a)² + q = 0: задание 20 ОГЭ по математике

Раскрывать скобки не нужно: обозначь $t = (x - a)^{2}$ и сразу запиши $t \geq 0$ . Получится квадратное уравнение $t^{2} + p t + q = 0$ . Отрицательный корень отбрось с пояснением, а из положительного найди $x - a = \pm \sqrt{t}$ . Ответ может содержать корни вроде $- 1 \pm \sqrt{5}$ , это нормально.

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: биквадратное уравнение со сдвигом

Введи замену $t = (x - a)^{2}$ , $t \geq 0$ .
Реши квадратное уравнение относительно $t$ .
Отбрось отрицательные значения $t$ .
Вернись к $x$ : $x = a \pm \sqrt{t}$ .

Где ошибаются. При обратной замене путают знак сдвига: из $(x + 1)^{2} = 6$ пишут $x = 1 \pm \sqrt{6}$ . Верно $x + 1 = \pm \sqrt{6}$ , откуда $x = - 1 \pm \sqrt{6}$ .

Как проверить ответ. Подставь $t$ в уравнение после замены: в $t^{2} - 2 t - 24 = 0$ при $t = 6$ выходит $36 - 12 - 24 = 0$ . Затем проверь, что при $x = - 1 \pm \sqrt{6}$ скобка $(x + 1)^{2}$ равна 6.

Правило

t = (x - a)^{2}

t \geq 0

;

t = \frac{1}{x}

x \neq 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Биквадратные уравнения и замена переменной.

Прототипы банка ФИПИ: CC11F7, 06F70C, 571126, 8941C2, EDFB3F

Примеры с решением

Пример 1

Решите уравнение

(x - 2)^{4} + 2 (x - 2)^{2} - 15 = 0

Ответ и решение

Ответ: $2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$

1Сделаем замену $t = (x - 2)^{2}$ , где $t ⩾ 0$ . Получим квадратное уравнение $t^{2} + 2 t - 15 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = 3$ , $t_{2} = - 5$ : их сумма равна $- 2$ , произведение равно $- 15$ .
3Корень $t = - 5$ не подходит, так как $t = (x - 2)^{2} ⩾ 0$ .
4Обратная замена: $(x - 2)^{2} = 3$ , $x - 2 = 3$ или $x - 2 = - 3$ , откуда $x = 2 + 3$ или $x = 2 - 3$ .
5Ответ: $2 - 3; 2 + 3$ .

Пример 2

Решите уравнение

(x - 2)^{4} + (x - 2)^{2} - 30 = 0

Ответ и решение

Ответ: $2 - \sqrt{5}; 2 + \sqrt{5}$

1Сделаем замену $t = (x - 2)^{2}$ , где $t ⩾ 0$ . Получим квадратное уравнение $t^{2} + t - 30 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = 5$ , $t_{2} = - 6$ : их сумма равна $- 1$ , произведение равно $- 30$ .
3Корень $t = - 6$ не подходит, так как $t = (x - 2)^{2} ⩾ 0$ .
4Обратная замена: $(x - 2)^{2} = 5$ , $x - 2 = 5$ или $x - 2 = - 5$ , откуда $x = 2 + 5$ или $x = 2 - 5$ .
5Ответ: $2 - 5; 2 + 5$ .

Пример 3

Решите уравнение

(x + 1)^{4} - 2 (x + 1)^{2} - 24 = 0

Ответ и решение

Ответ: $- 1 - \sqrt{6}; - 1 + \sqrt{6}$

1Сделаем замену $t = (x + 1)^{2}$ , где $t ⩾ 0$ . Получим квадратное уравнение $t^{2} - 2 t - 24 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = 6$ , $t_{2} = - 4$ : их сумма равна $2$ , произведение равно $- 24$ .
3Корень $t = - 4$ не подходит, так как $t = (x + 1)^{2} ⩾ 0$ .
4Обратная замена: $(x + 1)^{2} = 6$ , $x + 1 = 6$ или $x + 1 = - 6$ , откуда $x = - 1 + 6$ или $x = - 1 - 6$ .
5Ответ: $- 1 - 6; - 1 + 6$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Замена t = 1/xсложный
Замена t = 1/(x + a)про
Сумма двух квадратов равна нулюсложный
Одинаковый корень в обеих частяхсложный
Система, решаемая сложениемсложный
Система с кратными левыми частямисложный
Система с одинаковым y: разложениесложный

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)