Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите уравнение (x² − a²)² + (x² + px + q)² = 0: задание 20 ОГЭ по математике

Каждый квадрат неотрицателен, поэтому сумма равна нулю, только когда оба выражения равны нулю одновременно. Получается система из двух уравнений. Реши каждое и возьми общие корни: обычно такой корень один. Раскрывать скобки и получать уравнение четвёртой степени не нужно. Пример: $(x^{2} - 25)^{2} + (x^{2} - 6 x + 5)^{2} = 0$ . Первое уравнение даёт $\pm 5$ , второе 1 и 5, общий корень только 5. Ловушка: записать в ответ все найденные числа, как будто это совокупность, а не система.

Все типы задания 20

Проверь себя · 1 из 3

Решите уравнение

(x^{2} - 49)^{2} + (x^{2} + 10 x + 21)^{2} = 0

Как решать задание 20 ОГЭ: сумма двух квадратов равна нулю

Запиши: сумма квадратов равна нулю, значит каждое выражение равно нулю.
Реши первое уравнение.
Реши второе уравнение.
В ответ возьми только корни, общие для обоих.

Где ошибаются. Решают только первое уравнение и пишут оба корня $\pm 5$ . Корень $- 5$ второе выражение не обнуляет: $25 + 30 + 5 = 60$ .

Как проверить ответ. Подставь ответ в обе скобки: при $x = 5$ получаем $25 - 25 = 0$ и $25 - 30 + 5 = 0$ . Обе скобки равны нулю, значит, и сумма их квадратов.

Правило

A^{2} + B^{2} = 0 \Leftrightarrow A = 0

B = 0

;

\sqrt{f (x)}

существует при

f (x) \geq 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Сумма квадратов, уравнение с корнем и значение выражения.

Прототипы банка ФИПИ: D6770A, 4CA219, B3F219, 11EC1E, 35AF32

Примеры с решением

Пример 1

Решите уравнение

(x^{2} - 36)^{2} + (x^{2} + 3 x - 18)^{2} = 0

Ответ и решение

Ответ: -6

1Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому сумма двух квадратов равна нулю, только если оба выражения равны нулю: ${x^{2} - 36 = 0, x^{2} + 3 x - 18 = 0.$
2Из первого уравнения $x^{2} = 36$ , $x = - 6$ или $x = 6$ .
3Второе уравнение по теореме, обратной теореме Виета: $x = - 6$ или $x = 3$ .
4Обоим уравнениям удовлетворяет только $x = - 6$ .
5Ответ: $- 6$ .

Пример 2

Решите уравнение

(x^{2} - 49)^{2} + (x^{2} + x - 56)^{2} = 0

Ответ и решение

Ответ: 7

1Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому сумма двух квадратов равна нулю, только если оба выражения равны нулю: ${x^{2} - 49 = 0, x^{2} + x - 56 = 0.$
2Из первого уравнения $x^{2} = 49$ , $x = - 7$ или $x = 7$ .
3Второе уравнение по теореме, обратной теореме Виета: $x = - 8$ или $x = 7$ .
4Обоим уравнениям удовлетворяет только $x = 7$ .
5Ответ: $7$ .

Пример 3

Решите уравнение

(x^{2} - 49)^{2} + (x^{2} - 5 x - 14)^{2} = 0

Ответ и решение

Ответ: 7

1Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому сумма двух квадратов равна нулю, только если оба выражения равны нулю: ${x^{2} - 49 = 0, x^{2} - 5 x - 14 = 0.$
2Из первого уравнения $x^{2} = 49$ , $x = - 7$ или $x = 7$ .
3Второе уравнение по теореме, обратной теореме Виета: $x = - 2$ или $x = 7$ .
4Обоим уравнениям удовлетворяет только $x = 7$ .
5Ответ: $7$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Одинаковый корень в обеих частяхсложный
Система, решаемая сложениемсложный
Система с кратными левыми частямисложный
Система с одинаковым y: разложениесложный
Произведение двух трёхчленов, четыре корнясложный
Система с произведением и дробьюпро
Множитель вида (a − x) и разность квадратовпро

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)