Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите уравнение (x − c)(x + a)² = b(x + a): задание 20 ОГЭ по математике

Сверни трёхчлен в скобках в полный квадрат: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ . Справа стоит тот же двучлен, поэтому всё переносят влево и выносят его за скобку. Внутри остаётся квадратный трёхчлен, его корни находят через дискриминант. Главная ловушка этого типа: разделить на $x + 3$ и потерять корень −3.

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: общая скобка и полный квадрат

Узнай полный квадрат в скобках.
Перенеси правую часть влево.
Вынеси общий двучлен за скобку.
Реши квадратное уравнение в оставшейся скобке и добавь корень общего множителя.

Где ошибаются. Выносят $x + 2$ и забывают, что слева он в квадрате: в скобке остаётся ещё один множитель. Из $(x - 3) (x + 2)^{2} - 6 (x + 2)$ выходит $(x + 2) ((x - 3) (x + 2) - 6)$ .

Как проверить ответ. Подставь корни в $(x - 3) (x^{2} + 4 x + 4) = 6 (x + 2)$ : при $x = 4$ обе части равны 36, при $x = - 3$ обе равны $- 6$ , при $x = - 2$ обе равны 0.

Правило

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

;

A B = 0 \Leftrightarrow A = 0

или

B = 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Уравнения третьей и четвёртой степени: разложение на множители.

Прототипы банка ФИПИ: 8FB942, 9947F1, C63018, 984D22, 344BE0

Примеры с решением

Пример 1

Решите уравнение

(x - 3) (x^{2} + 4 x + 4) = 6 (x + 2)

Ответ и решение

Ответ: -3; -2; 4

1По формуле квадрата суммы $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ . Перенесём всё в левую часть: $(x - 3) (x + 2)^{2} - 6 (x + 2) = 0.$
2Вынесем общий множитель $x + 2$ : $(x + 2) ((x - 3) (x + 2) - 6) = 0,$ $(x + 2) (x^{2} - x - 12) = 0.$
3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
41) $x + 2 = 0$ , откуда $x = - 2$ .
52) $x^{2} - x - 12 = 0$ , $D = (- 1)^{2} + 4 \cdot 12 = 49 = 7^{2}$ , $x_{1} = \frac{1 - 7}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$ .
6Ответ: $- 3; - 2; 4$ .

Пример 2

Решите уравнение

(x - 1) (x^{2} + 8 x + 16) = 6 (x + 4)

Ответ и решение

Ответ: -5; -4; 2

1По формуле квадрата суммы $x^{2} + 8 x + 16 = (x + 4)^{2}$ . Перенесём всё в левую часть: $(x - 1) (x + 4)^{2} - 6 (x + 4) = 0.$
2Вынесем общий множитель $x + 4$ : $(x + 4) ((x - 1) (x + 4) - 6) = 0,$ $(x + 4) (x^{2} + 3 x - 10) = 0.$
3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
41) $x + 4 = 0$ , откуда $x = - 4$ .
52) $x^{2} + 3 x - 10 = 0$ , $D = 3^{2} + 4 \cdot 10 = 49 = 7^{2}$ , $x_{1} = \frac{- 3 - 7}{2} = - 5$ , $x_{2} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2$ .
6Ответ: $- 5; - 4; 2$ .

Пример 3

Решите уравнение

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 1) = 10 (x + 1)

Ответ и решение

Ответ: -3; -1; 4

1По формуле квадрата суммы $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ . Перенесём всё в левую часть: $(x - 2) (x + 1)^{2} - 10 (x + 1) = 0.$
2Вынесем общий множитель $x + 1$ : $(x + 1) ((x - 2) (x + 1) - 10) = 0,$ $(x + 1) (x^{2} - x - 12) = 0.$
3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
41) $x + 1 = 0$ , откуда $x = - 1$ .
52) $x^{2} - x - 12 = 0$ , $D = (- 1)^{2} + 4 \cdot 12 = 49 = 7^{2}$ , $x_{1} = \frac{1 - 7}{2} = - 3$ , $x_{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$ .
6Ответ: $- 3; - 1; 4$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Биквадратное уравнение со сдвигомсложный
Замена t = 1/xсложный
Сумма двух квадратов равна нулюсложный
Одинаковый корень в обеих частяхсложный
Система, решаемая сложениемсложный
Система с кратными левыми частямисложный
Замена t = 1/(x + a)про

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)