Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите уравнение x³ + ax² = bx + ab: задание 20 ОГЭ по математике

Перенеси всё влево и сгруппируй слагаемые парами: первые два и последние два. В каждой паре вынеси общий множитель, в скобках окажется одно и то же выражение $x + a$ . Его снова выносят, остаётся $x^{2} - b$ , которое раскладывается по разности квадратов. Обычно получается три корня, проверь знаки при переносе. Пример: $x^{3} + 6 x^{2} = 4 x + 24$ даёт $(x + 6) (x^{2} - 4) = 0$ , корни $- 6$ , $- 2$ и $2$ .

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: кубическое уравнение, группировка слагаемых

Перенеси правую часть влево с противоположными знаками.
Вынеси $x^{2}$ из первой пары и число из второй.
Вынеси общую скобку $(x + a)$ .
Приравняй множители к нулю и запиши все корни.

Где ошибаются. Из $x^{2} - 4 = 0$ записывают только корень 2 и теряют $- 2$ . У разности квадратов два множителя, и каждый даёт свой корень.

Как проверить ответ. Подставь каждый корень в исходное уравнение: для $x^{3} + 6 x^{2} = 4 x + 24$ при $x = - 2$ слева $- 8 + 24 = 16$ , справа $- 8 + 24 = 16$ .

Правило

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

;

A B = 0 \Leftrightarrow A = 0

или

B = 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Уравнения третьей и четвёртой степени: разложение на множители.

Прототипы банка ФИПИ: 1FD0B1, 4AF24D, 52CAF6, C0EC49, 98D489

Примеры с решением

Пример 1

Решите уравнение

x^{3} + 7 x^{2} = x + 7

Ответ и решение

Ответ: -7; -1; 1

1Перенесём всё в левую часть: $x^{3} + 7 x^{2} - x - 7 = 0.$
2Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $x + 7$ : $x^{2} (x + 7) - 1 (x + 7) = 0,$ $(x + 7) (x^{2} - 1) = 0.$
3По формуле разности квадратов $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ : $(x + 7) (x - 1) (x + 1) = 0.$
4Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем $x = - 7$ , $x = 1$ или $x = - 1$ .
5Ответ: $- 7; - 1; 1$ .

Пример 2

Решите уравнение

x^{3} + x^{2} - 16 x - 16 = 0

Ответ и решение

Ответ: -4; -1; 4

1Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $x + 1$ : $x^{2} (x + 1) - 16 (x + 1) = 0,$ $(x + 1) (x^{2} - 16) = 0.$
2По формуле разности квадратов $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ : $(x + 1) (x - 4) (x + 4) = 0.$
3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем $x = - 1$ , $x = 4$ или $x = - 4$ .
4Ответ: $- 4; - 1; 4$ .

Пример 3

Решите уравнение

x^{3} + x^{2} = 4 x + 4

Ответ и решение

Ответ: -2; -1; 2

1Перенесём всё в левую часть: $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0.$
2Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $x + 1$ : $x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = 0,$ $(x + 1) (x^{2} - 4) = 0.$
3По формуле разности квадратов $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ : $(x + 1) (x - 2) (x + 2) = 0.$
4Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем $x = - 1$ , $x = 2$ или $x = - 2$ .
5Ответ: $- 2; - 1; 2$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Общая скобка и полный квадратсложный
Биквадратное уравнение со сдвигомсложный
Замена t = 1/xсложный
Сумма двух квадратов равна нулюсложный
Одинаковый корень в обеих частяхсложный
Система, решаемая сложениемсложный
Замена t = 1/(x + a)про

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)