Задание 20 · часть 2 · 2 балла · про

Решите уравнение 1/(x + a)² + p/(x + a) + q = 0: задание 20 ОГЭ по математике

Знаменатель здесь двучлен, поэтому замена $t = \frac{1}{x + a}$ , условие $x \neq - a$ . После решения квадратного уравнения получаешь $x + a = \frac{1}{t}$ , откуда $x = \frac{1}{t} - a$ . Чаще всего ошибаются именно на этом шаге: забывают вычесть $a$ . Пример: $t = - 2$ , $a = 1$ даёт $x = - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2}$ .

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: замена t = 1/(x + a)

Запиши условие: знаменатель не ноль.
Введи $t = \frac{1}{x + a}$ и реши квадратное уравнение.
Для каждого $t$ найди $x = \frac{1}{t} - a$ .
Дробные корни запиши обыкновенными дробями.

Где ошибаются. При обратной замене теряют знак: из $\frac{1}{x + 1} = - 2$ получают $x + 1 = \frac{1}{2}$ . Знак сохраняется: $x + 1 = - \frac{1}{2}$ .

Как проверить ответ. Подставь ответ в знаменатель: при $x = - \frac{3}{2}$ имеем $x + 1 = - \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{x + 1} = - 2$ . Это и есть корень $t$ квадратного уравнения.

Правило

t = (x - a)^{2}

t \geq 0

;

t = \frac{1}{x}

x \neq 0

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Биквадратные уравнения и замена переменной.

Прототипы банка ФИПИ: 758215, C0319F, 61F9E5, 605EEE, 29978C

Примеры с решением

Пример 1

Решите уравнение

\frac{1}{(x + 2)^{2}} + \frac{1}{x + 2} - 20 = 0

Ответ и решение

Ответ: $- \frac{11}{5}; - \frac{7}{4}$

1Уравнение имеет смысл при $x \neq = - 2$ . Сделаем замену $t = \frac{1}{x + 2}$ : $t^{2} + t - 20 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = - 5$ , $t_{2} = 4$ : их сумма равна $- 1$ , произведение равно $- 20$ .
3Обратная замена: $\frac{1}{x + 2} = - 5$ , $x + 2 = - \frac{1}{5}$ , $x = - 2 + (- \frac{1}{5}) = - \frac{11}{5}$ .
4 $\frac{1}{x + 2} = 4$ , $x + 2 = \frac{1}{4}$ , $x = - 2 + \frac{1}{4} = - \frac{7}{4}$ .
5Ответ: $- \frac{11}{5}; - \frac{7}{4}$ .

Пример 2

Решите уравнение

\frac{1}{(x - 4)^{2}} + \frac{1}{x - 4} - 2 = 0

Ответ и решение

Ответ: $\frac{7}{2}; 5$

1Уравнение имеет смысл при $x \neq = 4$ . Сделаем замену $t = \frac{1}{x - 4}$ : $t^{2} + t - 2 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = - 2$ , $t_{2} = 1$ : их сумма равна $- 1$ , произведение равно $- 2$ .
3Обратная замена: $\frac{1}{x - 4} = - 2$ , $x - 4 = - \frac{1}{2}$ , $x = 4 + (- \frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$ .
4 $\frac{1}{x - 4} = 1$ , $x - 4 = 1$ , $x = 4 + 1 = 5$ .
5Ответ: $\frac{7}{2}; 5$ .

Пример 3

Решите уравнение

\frac{1}{(x - 4)^{2}} - \frac{8}{x - 4} + 12 = 0

Ответ и решение

Ответ: $\frac{25}{6}; \frac{9}{2}$

1Уравнение имеет смысл при $x \neq = 4$ . Сделаем замену $t = \frac{1}{x - 4}$ : $t^{2} - 8 t + 12 = 0.$
2По теореме, обратной теореме Виета, $t_{1} = 2$ , $t_{2} = 6$ : их сумма равна $8$ , произведение равно $12$ .
3Обратная замена: $\frac{1}{x - 4} = 2$ , $x - 4 = \frac{1}{2}$ , $x = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ .
4 $\frac{1}{x - 4} = 6$ , $x - 4 = \frac{1}{6}$ , $x = 4 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6}$ .
5Ответ: $\frac{25}{6}; \frac{9}{2}$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Сумма двух квадратов равна нулюсложный
Одинаковый корень в обеих частяхсложный
Система, решаемая сложениемсложный
Система с кратными левыми частямисложный
Система с одинаковым y: разложениесложный
Система с произведением и дробьюпро
Множитель вида (a − x) и разность квадратовпро

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)