Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите неравенство x²/(x + a) ≤ x: задание 20 ОГЭ по математике

Перенеси $x$ влево и приведи к общему знаменателю: $\frac{x^{2} - x (x + a)}{x + a} = \frac{- a x}{x + a}$ . Квадраты сокращаются, остаётся простая дробь. Раздели на $- a$ : если $- a < 0$ , знак неравенства меняется, если $- a > 0$ , остаётся прежним. Нуль числителя закрашен, нуль знаменателя выколот. Пример: $\frac{x^{2}}{x + 5} \leq x$ даёт $\frac{- 5 x}{x + 5} \leq 0$ . Точка 0 закрашена, $- 5$ выколота, ответ $(- \infty; - 5) \cup [0; + \infty)$ .

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: дробь с x² меньше x

Перенеси всё в левую часть.
Приведи к общему знаменателю и упрости числитель.
Отметь нули числителя и знаменателя на прямой.
Расставь знаки и выпиши ответ.

Где ошибаются. При приведении к общему знаменателю умножают $x$ только на первое слагаемое: из $x^{2} - x (x + 5)$ пишут $x^{2} - x^{2} - 5$ вместо $x^{2} - x^{2} - 5 x$ . Числитель тогда теряет $x$ .

Как проверить ответ. Подставь по точке из промежутков в $\frac{x^{2}}{x + 5} \leq x$ : при $x = 1$ имеем $\frac{1}{6} \leq 1$ , верно; при $x = - 1$ имеем $\frac{1}{4} \leq - 1$ , неверно.

Правило

\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0

: нули

f

закрашены, нули

g

выколоты

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Дробные неравенства: перенос и общий знаменатель.

Прототипы банка ФИПИ: D842F6, 8CC574, 0B532B, 736422, 2FEB86

Примеры с решением

Пример 1

Решите неравенство

\frac{x^{2}}{x - 7} ⩽ x

Ответ и решение

Ответ: [0; 7)

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = 7$ . Перенесём $x$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{x ^{2} - x ( x - 7 )}{x - 7} ⩽ 0, \frac{7 x}{x - 7} ⩽ 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $0$ закрашенная (левая часть в ней равна нулю, неравенство нестрогое); $7$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 7$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $7$ . При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; 0)$ : « $+$ », $(0; 7)$ : « $-$ », $(7; + \infty)$ : « $+$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $0 ⩽ x < 7$ .
5Ответ: $[0; 7)$ .

Пример 2

Решите неравенство

\frac{x^{2}}{x + 8} ⩽ x

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 8) \cup [0; + \infty)$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = - 8$ . Перенесём $x$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{x ^{2} - x ( x + 8 )}{x + 8} ⩽ 0, \frac{- 8 x}{x + 8} ⩽ 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $0$ закрашенная (левая часть в ней равна нулю, неравенство нестрогое); $- 8$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 0$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $- 8$ . При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 8)$ : « $-$ », $(- 8; 0)$ : « $+$ », $(0; + \infty)$ : « $-$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x < - 8$ или $x ⩾ 0$ .
5Ответ: $(- \infty; - 8) \cup [0; + \infty)$ .

Пример 3

Решите неравенство

\frac{x^{2}}{x + 7} ⩽ x

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 7) \cup [0; + \infty)$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = - 7$ . Перенесём $x$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{x ^{2} - x ( x + 7 )}{x + 7} ⩽ 0, \frac{- 7 x}{x + 7} ⩽ 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $0$ закрашенная (левая часть в ней равна нулю, неравенство нестрогое); $- 7$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 0$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $- 7$ . При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 7)$ : « $-$ », $(- 7; 0)$ : « $+$ », $(0; + \infty)$ : « $-$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x < - 7$ или $x ⩾ 0$ .
5Ответ: $(- \infty; - 7) \cup [0; + \infty)$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Сравнение двух дробей 1/x и 1/(x − a)сложный
Сравнение x и a/xсложный
Полный квадрат в числителе дробипро
Дробь, которая сокращаетсяпро
Неравенство без решенийсложный
Квадрат скобки меньше этой скобкисложный
Значение выражения по условию с дробьюсложный

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)