Задание 20 · часть 2 · 2 балла · про

Решите неравенство (x² + px + q)/(x − a) ≤ 0: задание 20 ОГЭ по математике

Разложи числитель: один из корней совпадает с нулём знаменателя. После сокращения остаётся линейное неравенство, например $x - 9 \leq 0$ . Но точка $x = 4$ всё равно не входит в область определения, её выкалывают. Ответ: $(- \infty; 4) \cup (4; 9]$ , а не $(- \infty; 9]$ . Пример: $\frac{x^{2} - 13 x + 36}{x - 4} \leq 0$ , корни числителя 4 и 9. Сокращать можно, только записав $x \neq 4$ заранее.

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: дробь, которая сокращается

Разложи числитель на множители.
Сократи дробь и запиши условие $x \neq a$ .
Реши оставшееся линейное неравенство.
Выколи точку $x = a$ из ответа.

Где ошибаются. Ошибаются в разложении числителя: у $x^{2} - 13 x + 36$ корни 4 и 9, сумма 13, произведение 36. Возьмёшь 3 и 12, сокращения не будет.

Как проверить ответ. Подставь $x = 4$ в исходную дробь: знаменатель равен 0, дробь не определена, точка выколота. При $x = 0$ получаем $\frac{36}{- 4} = - 9 \leq 0$ , точка в ответе.

Правило

\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0

: нули

f

закрашены, нули

g

выколоты

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Дробные неравенства: перенос и общий знаменатель.

Прототипы банка ФИПИ: A510D6, 6E7950, 35E1C0, 614C93, 111583

Примеры с решением

Пример 1

Решите неравенство

\frac{x^{2} - 13 x + 40}{x - 5} ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; 5) \cup (5; 8]$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = 5$ . Разложим числитель на множители (корни $5$ и $8$ по теореме, обратной теореме Виета): $\frac{( x - 5 ) ( x - 8 )}{x - 5} ⩽ 0.$
2При $x \neq = 5$ дробь можно сократить на $x - 5$ : $x - 8 ⩽ 0$ , то есть $x ⩽ 8$ .
3Точка $5$ лежит на луче $x ⩽ 8$ , её нужно выколоть. Получаем: $x < 5$ или $5 < x ⩽ 8$ .
4Ответ: $(- \infty; 5) \cup (5; 8]$ .

Пример 2

Решите неравенство

\frac{x^{2} + 6 x + 8}{x + 4} ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 4) \cup (- 4; - 2]$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = - 4$ . Разложим числитель на множители (корни $- 4$ и $- 2$ по теореме, обратной теореме Виета): $\frac{( x + 4 ) ( x + 2 )}{x + 4} ⩽ 0.$
2При $x \neq = - 4$ дробь можно сократить на $x + 4$ : $x + 2 ⩽ 0$ , то есть $x ⩽ - 2$ .
3Точка $- 4$ лежит на луче $x ⩽ - 2$ , её нужно выколоть. Получаем: $x < - 4$ или $- 4 < x ⩽ - 2$ .
4Ответ: $(- \infty; - 4) \cup (- 4; - 2]$ .

Пример 3

Решите неравенство

\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x + 4} ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 4) \cup (- 4; - 1]$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = - 4$ . Разложим числитель на множители (корни $- 4$ и $- 1$ по теореме, обратной теореме Виета): $\frac{( x + 4 ) ( x + 1 )}{x + 4} ⩽ 0.$
2При $x \neq = - 4$ дробь можно сократить на $x + 4$ : $x + 1 ⩽ 0$ , то есть $x ⩽ - 1$ .
3Точка $- 4$ лежит на луче $x ⩽ - 1$ , её нужно выколоть. Получаем: $x < - 4$ или $- 4 < x ⩽ - 1$ .
4Ответ: $(- \infty; - 4) \cup (- 4; - 1]$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Неравенство без решенийсложный
Квадрат скобки меньше этой скобкисложный
Значение выражения по условию с дробьюсложный
Четвёртая степень равна квадрату двучленасложный
Кубическое уравнение, группировка слагаемыхсложный
Общая скобка и полный квадратсложный
Биквадратное уравнение со сдвигомсложный

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)