Задание 20 · часть 2 · 2 балла · про

Решите неравенство (x² − 2ax + a²)/(x + b) ≤ 0: задание 20 ОГЭ по математике

Сверни числитель: $x^{2} - 12 x + 36 = (x - 6)^{2}$ . Квадрат неотрицателен, поэтому дробь $\leq 0$ в двух случаях: знаменатель отрицателен или числитель равен нулю. Получаем $x < - 7$ и отдельную точку $x = 6$ . Если перед квадратом стоит множитель, например $3 (x - 5)^{2}$ , его сначала выносят. Для $\frac{3 x^{2} - 30 x + 75}{x + 4} \leq 0$ вынеси 3: числитель $3 (x - 5)^{2}$ , ответ $(- \infty; - 4) \cup {5}$ . Эту точку легко потерять: при «≤» она входит в ответ.

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: полный квадрат в числителе дроби

Сверни числитель в полный квадрат.
Найди, где знаменатель отрицателен.
Добавь точку, где числитель равен нулю.
Проверь, что нуль знаменателя исключён.

Где ошибаются. Сворачивают числитель с неверным знаком: $x^{2} - 12 x + 36 = (x + 6)^{2}$ , и отдельной точкой в ответ попадает $- 6$ . Минус у $12 x$ даёт квадрат разности $(x - 6)^{2}$ .

Как проверить ответ. Подставь точки: при $x = 6$ дробь $\frac{0}{13} = 0$ , и $0 \leq 0$ верно. При $x = 0$ выходит $\frac{36}{7} > 0$ , ноль в ответ не входит.

Правило

\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0

: нули

f

закрашены, нули

g

выколоты

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Дробные неравенства: перенос и общий знаменатель.

Прототипы банка ФИПИ: CDC8F5, C7CC09, 7DD37C, 0B612B, D0878B

Примеры с решением

Пример 1

Решите неравенство

\frac{x^{2} - 8 x + 16}{x + 5} ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 5) \cup {4}$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = - 5$ . Числитель свернём по формуле квадрата разности: $x^{2} - 8 x + 16 = (x - 4)^{2}$ . Неравенство принимает вид $\frac{( x - 4 ) ^{2}}{x + 5} ⩽ 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $4$ закрашенная (левая часть в ней равна нулю, неравенство нестрогое); $- 5$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 4$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $4$ : там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 5)$ : « $-$ », $(- 5; 4)$ : « $+$ », $(4; + \infty)$ : « $+$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x < - 5$ или $x = 4$ . Точка $4$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
5Ответ: $(- \infty; - 5) \cup {4}$ .

Пример 2

Решите неравенство

\frac{2 x^{2} - 12 x + 18}{x + 3} ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 3) \cup {3}$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = - 3$ . Числитель свернём по формуле квадрата разности: $2 x^{2} - 12 x + 18 = 2 (x^{2} - 6 x + 9) = 2 (x - 3)^{2}$ . Неравенство принимает вид $\frac{2 ( x - 3 ) ^{2}}{x + 3} ⩽ 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $3$ закрашенная (левая часть в ней равна нулю, неравенство нестрогое); $- 3$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 3$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $2$ . При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $3$ : там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 3)$ : « $-$ », $(- 3; 3)$ : « $+$ », $(3; + \infty)$ : « $+$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x < - 3$ или $x = 3$ . Точка $3$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
5Ответ: $(- \infty; - 3) \cup {3}$ .

Пример 3

Решите неравенство

\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x + 4} ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 4) \cup {5}$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = - 4$ . Числитель свернём по формуле квадрата разности: $x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ . Неравенство принимает вид $\frac{( x - 5 ) ^{2}}{x + 4} ⩽ 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $5$ закрашенная (левая часть в ней равна нулю, неравенство нестрогое); $- 4$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 5$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $5$ : там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 4)$ : « $-$ », $(- 4; 5)$ : « $+$ », $(5; + \infty)$ : « $+$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x < - 4$ или $x = 5$ . Точка $5$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
5Ответ: $(- \infty; - 4) \cup {5}$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Сравнение x и a/xсложный
Дробь, которая сокращаетсяпро
Неравенство без решенийсложный
Квадрат скобки меньше этой скобкисложный
Значение выражения по условию с дробьюсложный
Четвёртая степень равна квадрату двучленасложный
Кубическое уравнение, группировка слагаемыхсложный

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)