Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите неравенство 1/x ≤ 1/(x − a): задание 20 ОГЭ по математике

Знаменатели перевернуть нельзя: это меняет знак по-разному на разных промежутках. Перенеси всё влево: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 8} = \frac{- 8}{x (x - 8)}$ . Числитель постоянный, поэтому знак дроби зависит только от $x (x - 8)$ . Обе точки 0 и 8 выколоты, ответ из открытых промежутков. При знаке «≤» дробь $\frac{- 8}{x (x - 8)}$ неположительна, когда $x (x - 8) > 0$ : ответ $(- \infty; 0) \cup (8; + \infty)$ . Знак числителя меняет картину: у $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{x - 4}$ ответ $(0; 4)$ , а у $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{x + 8}$ разность равна $\frac{8}{x (x + 8)}$ , и ответ $(- \infty; - 8) \cup (0; + \infty)$ .

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: сравнение двух дробей 1/x и 1/(x − a)

Перенеси вторую дробь влево.
Приведи к общему знаменателю, числитель станет числом.
Определи знак знаменателя методом интервалов.
Запиши открытые промежутки.

Где ошибаются. Вычитают дроби в обратном порядке и получают числитель $x - (x - 8) = 8$ . Верно $\frac{(x - 8) - x}{x (x - 8)} = \frac{- 8}{x (x - 8)}$ , знак числителя минус.

Как проверить ответ. Подставь точку из среднего промежутка в $\frac{1}{x} \leq \frac{1}{x - 8}$ : при $x = 4$ слева $0,25$ , справа $- 0,25$ , неравенство неверно. Значит, $(0; 8)$ в ответ не входит.

Правило

\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0

: нули

f

закрашены, нули

g

выколоты

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Дробные неравенства: перенос и общий знаменатель.

Прототипы банка ФИПИ: A5ABF3, 6CE616, B59AD9, E5C8E9, E18C35

Примеры с решением

Пример 1

Решите неравенство

\frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{x - 2}

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = 0$ и $x \neq = 2$ . Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 2} ⩽ 0, \frac{x - 2 - x}{x ( x - 2 )} ⩽ 0, \frac{- 2}{x ( x - 2 )} ⩽ 0.$
2Числитель равен $- 2 \neq = 0$ , поэтому левая часть в нуль не обращается.
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $0$ , $2$ выколотые (в них знаменатель равен нулю).
4При $x > 2$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $- 2$ . При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; 0)$ : « $-$ », $(0; 2)$ : « $+$ », $(2; + \infty)$ : « $-$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ »: $x < 0$ или $x > 2$ .
6Ответ: $(- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

Пример 2

Решите неравенство

\frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{x - 5}

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = 0$ и $x \neq = 5$ . Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 5} ⩽ 0, \frac{x - 5 - x}{x ( x - 5 )} ⩽ 0, \frac{- 5}{x ( x - 5 )} ⩽ 0.$
2Числитель равен $- 5 \neq = 0$ , поэтому левая часть в нуль не обращается.
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $0$ , $5$ выколотые (в них знаменатель равен нулю).
4При $x > 5$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $- 5$ . При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; 0)$ : « $-$ », $(0; 5)$ : « $+$ », $(5; + \infty)$ : « $-$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ »: $x < 0$ или $x > 5$ .
6Ответ: $(- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$ .

Пример 3

Решите неравенство

\frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{x - 6}

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; 0) \cup (6; + \infty)$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = 0$ и $x \neq = 6$ . Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 6} ⩽ 0, \frac{x - 6 - x}{x ( x - 6 )} ⩽ 0, \frac{- 6}{x ( x - 6 )} ⩽ 0.$
2Числитель равен $- 6 \neq = 0$ , поэтому левая часть в нуль не обращается.
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $0$ , $6$ выколотые (в них знаменатель равен нулю).
4При $x > 6$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $- 6$ . При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; 0)$ : « $-$ », $(0; 6)$ : « $+$ », $(6; + \infty)$ : « $-$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ »: $x < 0$ или $x > 6$ .
6Ответ: $(- \infty; 0) \cup (6; + \infty)$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Сравнение x и a/xсложный
Полный квадрат в числителе дробипро
Дробь, которая сокращаетсяпро
Неравенство без решенийсложный
Квадрат скобки меньше этой скобкисложный
Значение выражения по условию с дробьюсложный
Четвёртая степень равна квадрату двучленасложный

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)