Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите неравенство x > a/x: задание 20 ОГЭ по математике

Умножить на $x$ нельзя: при $x < 0$ знак неравенства меняется. Перенеси дробь влево: $\frac{x^{2} - 36}{x} > 0$ , то есть $\frac{(x - 6) (x + 6)}{x} > 0$ . На прямой три точки: −6, 0, 6. Ответ: $(- 6; 0) \cup (6; + \infty)$ , ноль всегда выколот. При знаке «<», как в $x < \frac{49}{x}$ , берут промежутки с минусом: $(- \infty; - 7) \cup (0; 7)$ . Ловушка: умножить на $x$ , решить $x^{2} > 36$ и получить лишний луч $x < - 6$ .

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: сравнение x и a/x

Перенеси дробь в левую часть.
Приведи к общему знаменателю $x$ .
Разложи числитель и отметь три точки.
Расставь знаки и выпиши промежутки.

Где ошибаются. Ставят ноль знаменателя закрашенной точкой при нестрогом знаке: в $x \leq \frac{36}{x}$ пишут $[0; 6]$ вместо $(0; 6]$ . При $x = 0$ дробь не определена.

Как проверить ответ. Подставь $x = - 1$ в $x > \frac{36}{x}$ : слева $- 1$ , справа $- 36$ , и $- 1 > - 36$ верно, точка входит в $(- 6; 0)$ . При $x = - 7$ слева $- 7$ , справа больше, точка вне ответа.

Правило

\frac{f (x)}{g (x)} \leq 0

: нули

f

закрашены, нули

g

выколоты

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Дробные неравенства: перенос и общий знаменатель.

Прототипы банка ФИПИ: 6FF9F5, F9C4D8, 78A058, AF5155

Примеры с решением

Пример 1

Решите неравенство

x ⩽ \frac{16}{x}

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 4] \cup (0; 4]$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = 0$ . Перенесём всё в левую часть, приведём к общему знаменателю и разложим числитель по формуле разности квадратов: $x - \frac{16}{x} ⩽ 0, \frac{x ^{2} - 16}{x} ⩽ 0, \frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x} ⩽ 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 4$ , $4$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое); $0$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 4$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 4)$ : « $-$ », $(- 4; 0)$ : « $+$ », $(0; 4)$ : « $-$ », $(4; + \infty)$ : « $+$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x ⩽ - 4$ или $0 < x ⩽ 4$ .
5Ответ: $(- \infty; - 4] \cup (0; 4]$ .

Пример 2

Решите неравенство

x > \frac{64}{x}

Ответ и решение

Ответ: $(- 8; 0) \cup (8; + \infty)$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = 0$ . Перенесём всё в левую часть, приведём к общему знаменателю и разложим числитель по формуле разности квадратов: $x - \frac{64}{x} > 0, \frac{x ^{2} - 64}{x} > 0, \frac{( x - 8 ) ( x + 8 )}{x} > 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 8$ , $8$ выколотые (неравенство строгое); $0$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 8$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 8)$ : « $-$ », $(- 8; 0)$ : « $+$ », $(0; 8)$ : « $-$ », $(8; + \infty)$ : « $+$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $+$ »: $- 8 < x < 0$ или $x > 8$ .
5Ответ: $(- 8; 0) \cup (8; + \infty)$ .

Пример 3

Решите неравенство

x ⩽ \frac{25}{x}

Ответ и решение

Ответ: $(- \infty; - 5] \cup (0; 5]$

1Неравенство имеет смысл при $x \neq = 0$ . Перенесём всё в левую часть, приведём к общему знаменателю и разложим числитель по формуле разности квадратов: $x - \frac{25}{x} ⩽ 0, \frac{x ^{2} - 25}{x} ⩽ 0, \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x} ⩽ 0.$
2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 5$ , $5$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое); $0$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3При $x > 5$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 5)$ : « $-$ », $(- 5; 0)$ : « $+$ », $(0; 5)$ : « $-$ », $(5; + \infty)$ : « $+$ ».
4Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x ⩽ - 5$ или $0 < x ⩽ 5$ .
5Ответ: $(- \infty; - 5] \cup (0; 5]$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Дробь, которая сокращаетсяпро
Неравенство без решенийсложный
Квадрат скобки меньше этой скобкисложный
Значение выражения по условию с дробьюсложный
Четвёртая степень равна квадрату двучленасложный
Кубическое уравнение, группировка слагаемыхсложный
Общая скобка и полный квадратсложный

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)