Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите неравенство (x² + px + q₁)(x² + px + q₂) ≤ 0: задание 20 ОГЭ по математике

Найди корни каждого трёхчлена отдельно: всего получится четыре разных числа. Отметь их на прямой закрашенными точками, знак на крайнем правом интервале плюс. Знаки чередуются, так как все корни простые. При знаке «≤ 0» ответ: два отрезка, например $[- 8; - 5] \cup [4; 7]$ . Пример: $(x^{2} + x - 56) (x^{2} + x - 20) \leq 0$ даёт корни $- 8$ , 7 и $- 5$ , 4. Ловушка: чередовать знаки, не упорядочив корни двух трёхчленов.

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: произведение двух трёхчленов, четыре корня

Найди корни первого трёхчлена.
Найди корни второго трёхчлена.
Отметь четыре точки на прямой и расставь знаки.
Выпиши промежутки с нужным знаком вместе с концами.

Где ошибаются. Путают знаки корней по Виета: у $x^{2} + x - 56$ корни $- 8$ и 7, а не 8 и $- 7$ . Сумма корней равна $- 1$ , произведение $- 56$ .

Как проверить ответ. Подставь точку между отрезками: при $x = 0$ произведение $(- 56) \cdot (- 20) = 1120 > 0$ , значит, 0 в ответ не входит, как и должно быть для $[- 8; - 5] \cup [4; 7]$ .

Правило

При чётной степени множителя знак на соседних интервалах одинаковый

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Неравенства методом интервалов.

Прототипы банка ФИПИ: 166F42, A2F1F4, E31F7D, AD29E3, 805539

Примеры с решением

Пример 1

Решите неравенство

(x^{2} + x - 6) (x^{2} + x - 20) ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $[- 5; - 3] \cup [2; 4]$

1Разложим каждый трёхчлен на множители (корни найдём по теореме, обратной теореме Виета): $x^{2} + x - 20 = (x + 5) (x - 4)$ , $x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$ .
2Неравенство принимает вид $(x + 5) (x + 3) (x - 2) (x - 4) ⩽ 0.$
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 5$ , $- 3$ , $2$ , $4$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4При $x > 4$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 5)$ : « $+$ », $(- 5; - 3)$ : « $-$ », $(- 3; 2)$ : « $+$ », $(2; 4)$ : « $-$ », $(4; + \infty)$ : « $+$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $- 5 ⩽ x ⩽ - 3$ или $2 ⩽ x ⩽ 4$ .
6Ответ: $[- 5; - 3] \cup [2; 4]$ .

Пример 2

Решите неравенство

(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x - 24) ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $[- 4; 0] \cup [2; 6]$

1Разложим каждый трёхчлен на множители (корни найдём по теореме, обратной теореме Виета): $x^{2} - 2 x - 24 = (x + 4) (x - 6)$ , $x^{2} - 2 x = x (x - 2)$ .
2Неравенство принимает вид $(x + 4) x (x - 2) (x - 6) ⩽ 0.$
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 4$ , $0$ , $2$ , $6$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4При $x > 6$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 4)$ : « $+$ », $(- 4; 0)$ : « $-$ », $(0; 2)$ : « $+$ », $(2; 6)$ : « $-$ », $(6; + \infty)$ : « $+$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $- 4 ⩽ x ⩽ 0$ или $2 ⩽ x ⩽ 6$ .
6Ответ: $[- 4; 0] \cup [2; 6]$ .

Пример 3

Решите неравенство

(x^{2} - 36) (x^{2} - 25) ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $[- 6; - 5] \cup [5; 6]$

1Разложим каждый трёхчлен на множители (корни найдём по теореме, обратной теореме Виета): $x^{2} - 36 = (x + 6) (x - 6)$ , $x^{2} - 25 = (x + 5) (x - 5)$ .
2Неравенство принимает вид $(x + 6) (x + 5) (x - 5) (x - 6) ⩽ 0.$
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 6$ , $- 5$ , $5$ , $6$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4При $x > 6$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 6)$ : « $+$ », $(- 6; - 5)$ : « $-$ », $(- 5; 5)$ : « $+$ », $(5; 6)$ : « $-$ », $(6; + \infty)$ : « $+$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $- 6 ⩽ x ⩽ - 5$ или $5 ⩽ x ⩽ 6$ .
6Ответ: $[- 6; - 5] \cup [5; 6]$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Неравенство без решенийсложный
Трёхчлены с общим корнемпро
Дробь с x² меньше xсложный
Сравнение двух дробей 1/x и 1/(x − a)сложный
Сравнение x и a/xсложный
Полный квадрат в числителе дробипро
Дробь, которая сокращаетсяпро

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)