Задание 20 · часть 2 · 2 балла · про

Решите неравенство, где у двух множителей общий корень: задание 20 ОГЭ по математике

Разложи оба трёхчлена: один корень у них совпадает, и множитель появляется в квадрате. Например, $(x + 2) (x + 6) (x + 6) (x - 2) = (x + 6)^{2} (x + 2) (x - 2)$ . При переходе через −6 знак не меняется, поэтому −6 попадает в ответ отдельной точкой. Ответ: ${- 6} \cup [- 2; 2]$ .

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: трёхчлены с общим корнем

Разложи каждый трёхчлен на множители.
Объедини одинаковые множители в квадрат.
Расставь знаки: у квадрата знак не меняется.
Добавь в ответ точку, где квадрат равен нулю.

Где ошибаются. Ошибаются в разложении и не видят общего корня: у $x^{2} + 8 x + 12$ корни $- 6$ и $- 2$ , у $x^{2} + 4 x - 12$ корни $- 6$ и 2. Без общего корня квадрата не появится.

Как проверить ответ. Проверь точки: при $x = - 6$ произведение 0, при $x = 0$ выходит $12 \cdot (- 12) = - 144 \leq 0$ . При $x = - 4$ получаем $(- 4) \cdot (- 12) = 48 > 0$ , эта точка вне ответа.

Правило

При чётной степени множителя знак на соседних интервалах одинаковый

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Неравенства методом интервалов.

Прототипы банка ФИПИ: 2A0B4A, 7585FE, C03D26, 7B31DA, 878188

Примеры с решением

Пример 1

Решите неравенство

(x^{2} - 6 x - 7) (x^{2} - 4 x - 5) ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: ${- 1} \cup [5; 7]$

1Разложим трёхчлены на множители (по теореме, обратной теореме Виета): $x^{2} - 4 x - 5 = (x + 1) (x - 5)$ , $x^{2} - 6 x - 7 = (x + 1) (x - 7)$ .
2Множитель $x + 1$ встречается дважды, неравенство принимает вид $(x + 1)^{2} (x - 5) (x - 7) ⩽ 0.$
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 1$ , $5$ , $7$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4При $x > 7$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $- 1$ : там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 1)$ : « $+$ », $(- 1; 5)$ : « $+$ », $(5; 7)$ : « $-$ », $(7; + \infty)$ : « $+$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x = - 1$ или $5 ⩽ x ⩽ 7$ . Точка $- 1$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
6Ответ: ${- 1} \cup [5; 7]$ .

Пример 2

Решите неравенство

(x^{2} + x - 12) (x^{2} + 5 x + 4) ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: ${- 4} \cup [- 1; 3]$

1Разложим трёхчлены на множители (по теореме, обратной теореме Виета): $x^{2} + 5 x + 4 = (x + 4) (x + 1)$ , $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ .
2Множитель $x + 4$ встречается дважды, неравенство принимает вид $(x + 4)^{2} (x + 1) (x - 3) ⩽ 0.$
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 4$ , $- 1$ , $3$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4При $x > 3$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $- 4$ : там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 4)$ : « $+$ », $(- 4; - 1)$ : « $+$ », $(- 1; 3)$ : « $-$ », $(3; + \infty)$ : « $+$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $x = - 4$ или $- 1 ⩽ x ⩽ 3$ . Точка $- 4$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
6Ответ: ${- 4} \cup [- 1; 3]$ .

Пример 3

Решите неравенство

(x^{2} - 36) (x^{2} - 3 x - 18) ⩽ 0

Ответ и решение

Ответ: $[- 6; - 3] \cup {6}$

1Разложим трёхчлены на множители (по теореме, обратной теореме Виета): $x^{2} - 36 = (x - 6) (x + 6)$ , $x^{2} - 3 x - 18 = (x - 6) (x + 3)$ .
2Множитель $x - 6$ встречается дважды, неравенство принимает вид $(x - 6)^{2} (x + 6) (x + 3) ⩽ 0.$
3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $- 6$ , $- 3$ , $6$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4При $x > 6$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $6$ : там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(- \infty; - 6)$ : « $+$ », $(- 6; - 3)$ : « $-$ », $(- 3; 6)$ : « $+$ », $(6; + \infty)$ : « $+$ ».
5Выбираем промежутки со знаком « $-$ » и закрашенные точки: $- 6 ⩽ x ⩽ - 3$ или $x = 6$ . Точка $6$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
6Ответ: $[- 6; - 3] \cup {6}$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Неравенство без решенийсложный
Квадрат скобки меньше этой скобкисложный
Дробь с x² меньше xсложный
Сравнение двух дробей 1/x и 1/(x − a)сложный
Сравнение x и a/xсложный
Полный квадрат в числителе дробипро
Дробь, которая сокращаетсяпро

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)