Решите неравенство (a − x)(x² − a²) ≥ 0: задание 20 ОГЭ по математике

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-2]\cup \{6\}$

1. 1Разложим на множители: $x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$ (корни $6$ и $-2$ по теореме, обратной теореме Виета).
2. 2Так как $6-x=-(x-6)$, неравенство принимает вид $-(x-6{)}^2(x+2)⩾0.$ Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $(x-6{)}^2(x+2)⩽0.$
3. 3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $-2$, $6$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4. 4При $x>6$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $6$: там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-2)$: «$-$», $(-2;6)$: «$+$», $(6;+\infty )$: «$+$».
5. 5Выбираем промежутки со знаком «$-$» и закрашенные точки: $x⩽-2$ или $x=6$. Точка $6$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
6. 6Ответ: $(-\infty ;-2]\cup \{6\}$.

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-7]\cup \{4\}$

1. 1Разложим на множители: $x^2+3x-28=(x-4)(x+7)$ (корни $4$ и $-7$ по теореме, обратной теореме Виета).
2. 2Так как $4-x=-(x-4)$, неравенство принимает вид $-(x-4{)}^2(x+7)⩾0.$ Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $(x-4{)}^2(x+7)⩽0.$
3. 3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $-7$, $4$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4. 4При $x>4$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $4$: там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-7)$: «$-$», $(-7;4)$: «$+$», $(4;+\infty )$: «$+$».
5. 5Выбираем промежутки со знаком «$-$» и закрашенные точки: $x⩽-7$ или $x=4$. Точка $4$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
6. 6Ответ: $(-\infty ;-7]\cup \{4\}$.

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-3]\cup \{3\}$

1. 1Разложим на множители: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ (разность квадратов).
2. 2Так как $3-x=-(x-3)$, неравенство принимает вид $-(x-3{)}^2(x+3)⩾0.$ Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $(x-3{)}^2(x+3)⩽0.$
3. 3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $-3$, $3$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4. 4При $x>3$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $3$: там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-3)$: «$-$», $(-3;3)$: «$+$», $(3;+\infty )$: «$+$».
5. 5Выбираем промежутки со знаком «$-$» и закрашенные точки: $x⩽-3$ или $x=3$. Точка $3$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
6. 6Ответ: $(-\infty ;-3]\cup \{3\}$.