Задание 20 · часть 2 · 2 балла · сложный

Решите систему ax² + by² = c, kax² + kby² = cx: задание 20 ОГЭ по математике

Сравни левые части: во втором уравнении $3 x^{2} + 9 y^{2}$ ровно в 3 раза больше, чем $x^{2} + 3 y^{2}$ в первом. Значит, вторую левую часть можно заменить на $3 \cdot 36 = 108$ , и сразу $108 = 36 x$ , $x = 3$ . Подставь $x$ в первое уравнение и найди два значения $y$ . Ответ: две пары с одинаковым $x$ .

Все типы задания 20

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 20 ОГЭ: система с кратными левыми частями

Найди, во сколько раз левая часть второго уравнения больше первой.
Замени её числом из первого уравнения и найди $x$ .
Подставь $x$ в первое уравнение и найди $y$ .
Запиши ответ парами.

Где ошибаются. Подставляя $x = 3$ , забывают возвести его в квадрат: пишут $3 + 3 y^{2} = 36$ . Верно $9 + 3 y^{2} = 36$ , $y^{2} = 9$ , $y = \pm 3$ .

Как проверить ответ. Подставь пару во второе уравнение: для $(3; 3)$ слева $3 \cdot 9 + 9 \cdot 9 = 27 + 81 = 108$ , справа $36 \cdot 3 = 108$ .

Правило

Ответ системы: пары чисел

(x; y)

, каждая проверена подстановкой в оба уравнения

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 20: Системы уравнений второй степени: сложение и подстановка.

Прототипы банка ФИПИ: 5A9DFE, 253706, 11667F, 116114, F821AB

Примеры с решением

Пример 1

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 4 x^{2} + 3 y^{2} = 39, \\ 12 x^{2} + 9 y^{2} = 39 x . \end{cases}

Ответ и решение

Ответ: (3; -1); (3; 1)

1Вынесем во втором уравнении множитель $3$ : $3 (4 x^{2} + 3 y^{2}) = 39 x .$
2По первому уравнению $4 x^{2} + 3 y^{2} = 39$ , поэтому $3 \cdot 39 = 39 x$ , откуда $x = 3$ .
3Подставим $x = 3$ в первое уравнение: $36 + 3 y^{2} = 39$ , $3 y^{2} = 3$ , $y^{2} = 1$ , откуда $y = - 1$ или $y = 1$ .
4Ответ: $(3; - 1); (3; 1)$ .

Пример 2

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 2 x^{2} + 3 y^{2} = 21, \\ 6 x^{2} + 9 y^{2} = 21 x . \end{cases}

Ответ и решение

Ответ: (3; -1); (3; 1)

1Вынесем во втором уравнении множитель $3$ : $3 (2 x^{2} + 3 y^{2}) = 21 x .$
2По первому уравнению $2 x^{2} + 3 y^{2} = 21$ , поэтому $3 \cdot 21 = 21 x$ , откуда $x = 3$ .
3Подставим $x = 3$ в первое уравнение: $18 + 3 y^{2} = 21$ , $3 y^{2} = 3$ , $y^{2} = 1$ , откуда $y = - 1$ или $y = 1$ .
4Ответ: $(3; - 1); (3; 1)$ .

Пример 3

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 5 x^{2} + y^{2} = 21, \\ 10 x^{2} + 2 y^{2} = 21 x . \end{cases}

Ответ и решение

Ответ: (2; -1); (2; 1)

1Вынесем во втором уравнении множитель $2$ : $2 (5 x^{2} + y^{2}) = 21 x .$
2По первому уравнению $5 x^{2} + y^{2} = 21$ , поэтому $2 \cdot 21 = 21 x$ , откуда $x = 2$ .
3Подставим $x = 2$ в первое уравнение: $20 + y^{2} = 21$ , $y^{2} = 1$ , $y^{2} = 1$ , откуда $y = - 1$ или $y = 1$ .
4Ответ: $(2; - 1); (2; 1)$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 20

Система с одинаковым y: разложениесложный
Система с произведением и дробьюпро
Произведение двух трёхчленов, четыре корнясложный
Дробь с x² меньше xсложный
Сравнение двух дробей 1/x и 1/(x − a)сложный
Множитель вида (a − x) и разность квадратовпро
Трёхчлены с общим корнемпро

Все 23 типов задания 20 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)