Задание 21 · часть 2 · 2 балла · сложный

Баржа прошла по течению и против течения разные расстояния: задание 21 ОГЭ по математике

Расстояния туда и обратно разные, поэтому слагаемые в уравнении не симметричны: $\frac{87}{v + 5} + \frac{76}{v - 5} = 7$ . После умножения получится $7 v^{2} - 163 v - 120 = 0$ . Дискриминант 29929, это $173^{2}$ : проверяй квадрат подбором последней цифры. Положительный корень 24. Ловушка: перепутать, какой путь пройден по течению: 87 км делят на $v + 5$ , а 76 км на $v - 5$ . Второй корень $- \frac{5}{7}$ отрицательный, его отбрасывают.

Все типы задания 21

Проверь себя · 1 из 3

Баржа прошла по течению реки 52 км и, повернув обратно, прошла ещё 28 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Как решать задание 21 ОГЭ: разные пути туда и обратно

Обозначь собственную скорость баржи.
Запиши время по течению и против.
Приравняй сумму времён к общему времени.
Реши квадратное уравнение и отбери корень.

Где ошибаются. Теряют свободный член: $- 87 \cdot 5 + 76 \cdot 5 = - 55$ , справа ещё $7 \cdot 25 = 175$ . В итоге $- 120$ , а ошибка в одном числе ломает дискриминант.

Как проверить ответ. Подставь 24: $87 : 29 = 3$ ч и $76 : 19 = 4$ ч, вместе 7 ч. Деление нацело подсказывает, что корень найден верно.

Правило

v_{по теч} = v + u

v_{против} = v - u

v_{плота} = u

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 21: Задачи на движение по реке: лодка, теплоход, плот.

Прототипы банка ФИПИ: DE784F, 2509FF, E9F0F7, 962FBD

Примеры с решением

Пример 1

Баржа прошла по течению реки 66 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 17

1Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. По течению баржа идёт со скоростью $x + 5$ км/ч, против течения со скоростью $x - 5$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
По течению $x + 5$ $\frac{66}{x + 5}$ $66$
Против течения $x - 5$ $\frac{60}{x - 5}$ $60$
3На весь путь ушло 8 часов, откуда $\frac{66}{x + 5} + \frac{60}{x - 5} = 8.$
4Умножим обе части на $(x + 5) (x - 5)$ , где $(x + 5) (x - 5) \neq = 0$ , так как $x > 5$ : $66 (x - 5) + 60 (x + 5) = 8 (x^{2} - 25),$ $8 x^{2} - 126 x - 170 = 0.$
5Разделим обе части на $2$ : $4 x^{2} - 63 x - 85 = 0.$
6Дискриминант: $D = (- 63)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 85) = 5329 = 7 3^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{63 + 73}{8} = 17, x_{2} = \frac{63 - 73}{8} = - \frac{5}{4} .$
7Корень $- \frac{5}{4}$ не подходит по смыслу задачи: скорость не может быть отрицательной. Значит, собственная скорость баржи равна $17$ км/ч.
8Ответ: 17 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
По течению	$x + 5$	$\frac{66}{x + 5}$	$66$
Против течения	$x - 5$	$\frac{60}{x - 5}$	$60$

Пример 2

Баржа прошла по течению реки 72 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 22

1Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. По течению баржа идёт со скоростью $x + 2$ км/ч, против течения со скоростью $x - 2$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
По течению $x + 2$ $\frac{72}{x + 2}$ $72$
Против течения $x - 2$ $\frac{60}{x - 2}$ $60$
3На весь путь ушло 6 часов, откуда $\frac{72}{x + 2} + \frac{60}{x - 2} = 6.$
4Умножим обе части на $(x + 2) (x - 2)$ , где $(x + 2) (x - 2) \neq = 0$ , так как $x > 2$ : $72 (x - 2) + 60 (x + 2) = 6 (x^{2} - 4),$ $6 x^{2} - 132 x = 0.$
5Разделим обе части на $6$ : $x^{2} - 22 x = 0.$
6Вынесем $x$ за скобки: $x (x - 22) = 0$ , откуда $x = 0$ или $x = 22$ .
7Корень $0$ не подходит по смыслу задачи: скорость баржи должна быть положительной. Значит, собственная скорость баржи равна $22$ км/ч.
8Ответ: 22 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
По течению	$x + 2$	$\frac{72}{x + 2}$	$72$
Против течения	$x - 2$	$\frac{60}{x - 2}$	$60$

Пример 3

Баржа прошла по течению реки 60 км и, повернув обратно, прошла ещё 40 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 25

1Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. По течению баржа идёт со скоростью $x + 5$ км/ч, против течения со скоростью $x - 5$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
По течению $x + 5$ $\frac{60}{x + 5}$ $60$
Против течения $x - 5$ $\frac{40}{x - 5}$ $40$
3На весь путь ушло 4 часа, откуда $\frac{60}{x + 5} + \frac{40}{x - 5} = 4.$
4Умножим обе части на $(x + 5) (x - 5)$ , где $(x + 5) (x - 5) \neq = 0$ , так как $x > 5$ : $60 (x - 5) + 40 (x + 5) = 4 (x^{2} - 25),$ $4 x^{2} - 100 x = 0.$
5Разделим обе части на $4$ : $x^{2} - 25 x = 0.$
6Вынесем $x$ за скобки: $x (x - 25) = 0$ , откуда $x = 0$ или $x = 25$ .
7Корень $0$ не подходит по смыслу задачи: скорость баржи должна быть положительной. Значит, собственная скорость баржи равна $25$ км/ч.
8Ответ: 25 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
По течению	$x + 5$	$\frac{60}{x + 5}$	$60$
Против течения	$x - 5$	$\frac{40}{x - 5}$	$40$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 21

Плот и яхта на рекепро
Два сосуда с раствором кислотысложный
Средняя скорость на трёх участкахсложный
Средняя скорость на двух половинах путисложный
Встреча велосипедистов, один с остановкойсложный
Бегуны на круговой трассепро
Второй автомобиль: первая половина известнапро

Все 19 типов задания 21 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)