Задание 21 · часть 2 · 2 балла · про

Плот и яхта, найдите скорость яхты в неподвижной воде: задание 21 ОГЭ по математике

Начни с плота: его скорость равна скорости течения, поэтому время плота: путь, делённый на течение, например $28 : 2 = 14$ ч. Яхта вышла на 2 часа позже, значит была в пути 12 ч. Сумма времён яхты туда и обратно равна 12. Полученное квадратное уравнение даёт скорость 8 км/ч. Уравнение $\frac{45}{x + 2} + \frac{45}{x - 2} = 12$ даёт $2 x^{2} - 15 x - 8 = 0$ , корень 8. Ловушка: взять для яхты 14 ч.

Все типы задания 21

Проверь себя · 1 из 3

Расстояние между пристанями А и В равно 36 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Как решать задание 21 ОГЭ: плот и яхта на реке

Найди время плота до возвращения лодки в А.
Вычти задержку и получи время яхты.
Составь уравнение для яхты туда и обратно.
Реши и отбери положительный корень.

Где ошибаются. Путают расстояния: плот прошёл 28 км, а яхта 45 км туда и 45 км обратно. Подставлять 28 в уравнение яхты нельзя, это путь плота к моменту её возвращения.

Как проверить ответ. Подставь 8: $45 : 10 = 4,5$ ч и $45 : 6 = 7,5$ ч, вместе 12 ч. Плот за $12 + 2 = 14$ ч проплыл $2 \cdot 14 = 28$ км, всё сходится.

Правило

v_{по теч} = v + u

v_{против} = v - u

v_{плота} = u

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 21: Задачи на движение по реке: лодка, теплоход, плот.

Прототипы банка ФИПИ: 2AEB4E, D70F00, 7BB613, 694321

Примеры с решением

Пример 1

Расстояние между пристанями А и В равно 77 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 40 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 18

1Плот плывёт со скоростью течения 4 км/ч, поэтому 40 км он проплыл за $40 : 4 = 10$ ч.
2Лодка вышла на 1 час позже плота и вернулась в А в тот же момент, значит, она была в пути $10 - 1 = 9$ ч.
3Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ км/ч. Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Из А в В (по течению) $x + 4$ $\frac{77}{x + 4}$ $77$
Из В в А (против течения) $x - 4$ $\frac{77}{x - 4}$ $77$
4Весь путь занял 9 часов, откуда $\frac{77}{x + 4} + \frac{77}{x - 4} = 9.$
5Умножим обе части на $(x + 4) (x - 4)$ , где $(x + 4) (x - 4) \neq = 0$ , так как $x > 4$ : $77 (x - 4) + 77 (x + 4) = 9 (x^{2} - 16),$ $9 x^{2} - 154 x - 144 = 0.$
6Дискриминант: $D = (- 154)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 144) = 28900 = 17 0^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{154 + 170}{18} = 18, x_{2} = \frac{154 - 170}{18} = - \frac{8}{9} .$
7Корень $- \frac{8}{9}$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $18$ км/ч.
8Ответ: 18 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Из А в В (по течению)	$x + 4$	$\frac{77}{x + 4}$	$77$
Из В в А (против течения)	$x - 4$	$\frac{77}{x - 4}$	$77$

Пример 2

Расстояние между пристанями А и В равно 75 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 16

1Плот плывёт со скоростью течения 4 км/ч, поэтому 48 км он проплыл за $48 : 4 = 12$ ч.
2Яхта вышла на 2 часа позже плота и вернулась в А в тот же момент, значит, она была в пути $12 - 2 = 10$ ч.
3Пусть скорость яхты в неподвижной воде равна $x$ км/ч. Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Из А в В (по течению) $x + 4$ $\frac{75}{x + 4}$ $75$
Из В в А (против течения) $x - 4$ $\frac{75}{x - 4}$ $75$
4Весь путь занял 10 часов, откуда $\frac{75}{x + 4} + \frac{75}{x - 4} = 10.$
5Умножим обе части на $(x + 4) (x - 4)$ , где $(x + 4) (x - 4) \neq = 0$ , так как $x > 4$ : $75 (x - 4) + 75 (x + 4) = 10 (x^{2} - 16),$ $10 x^{2} - 150 x - 160 = 0.$
6Разделим обе части на $10$ : $x^{2} - 15 x - 16 = 0.$
7Дискриминант: $D = (- 15)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16) = 289 = 1 7^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{15 + 17}{2} = 16, x_{2} = \frac{15 - 17}{2} = - 1.$
8Корень $- 1$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость яхты в неподвижной воде равна $16$ км/ч.
9Ответ: 16 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Из А в В (по течению)	$x + 4$	$\frac{75}{x + 4}$	$75$
Из В в А (против течения)	$x - 4$	$\frac{75}{x - 4}$	$75$

Пример 3

Расстояние между пристанями А и В равно 36 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 20 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 25

1Плот плывёт со скоростью течения 5 км/ч, поэтому 20 км он проплыл за $20 : 5 = 4$ ч.
2Лодка вышла на 1 час позже плота и вернулась в А в тот же момент, значит, она была в пути $4 - 1 = 3$ ч.
3Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ км/ч. Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Из А в В (по течению) $x + 5$ $\frac{36}{x + 5}$ $36$
Из В в А (против течения) $x - 5$ $\frac{36}{x - 5}$ $36$
4Весь путь занял 3 часа, откуда $\frac{36}{x + 5} + \frac{36}{x - 5} = 3.$
5Умножим обе части на $(x + 5) (x - 5)$ , где $(x + 5) (x - 5) \neq = 0$ , так как $x > 5$ : $36 (x - 5) + 36 (x + 5) = 3 (x^{2} - 25),$ $3 x^{2} - 72 x - 75 = 0.$
6Разделим обе части на $3$ : $x^{2} - 24 x - 25 = 0.$
7Дискриминант: $D = (- 24)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 25) = 676 = 2 6^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{24 + 26}{2} = 25, x_{2} = \frac{24 - 26}{2} = - 1.$
8Корень $- 1$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $25$ км/ч.
9Ответ: 25 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Из А в В (по течению)	$x + 5$	$\frac{36}{x + 5}$	$36$
Из В в А (против течения)	$x - 5$	$\frac{36}{x - 5}$	$36$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 21

Все 19 типов задания 21 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)