Задание 21 · часть 2 · 2 балла · про

Второй автомобиль первую половину пути ехал с известной скоростью: задание 21 ОГЭ по математике

Обозначь скорость первого за $x$ , весь путь за 1. Тогда время первого $\frac{1}{x}$ , а второго $\frac{1}{2 \cdot 65} + \frac{1}{2 (x + 24)}$ . Приравняй времена и умножь на общий знаменатель. Получится $x^{2} - 41 x - 3120 = 0$ , положительный корень 80. Дискриминант $1681 + 12480 = 14161 = 119^{2}$ , корни 80 и $- 39$ . Проверка: $\frac{1}{130} + \frac{1}{208} = \frac{1}{80}$ . Ловушка: прибавить 24 км/ч к 65, хотя прибавка идёт к скорости первого.

Все типы задания 21

Проверь себя · 1 из 3

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 8 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Как решать задание 21 ОГЭ: первая половина известна

Обозначь скорость первого автомобиля и длину пути.
Вырази время второго на каждой половине.
Приравняй время двух автомобилей.
Реши квадратное уравнение и отбрось отрицательный корень.

Где ошибаются. Забывают, что едут половину пути, и пишут $\frac{1}{65}$ вместо $\frac{1}{2 \cdot 65}$ . Тогда второй будто бы проехал со скоростью 65 весь путь, а не половину.

Как проверить ответ. Проверь на числах 60 и 14 км/ч с ответом 70: на второй половине $70 + 14 = 84$ км/ч, и $\frac{1}{120} + \frac{1}{168} = \frac{7 + 5}{840} = \frac{1}{70}$ , время то же, что у первого.

Правило

v_{ср} = \frac{S_{1} + S_{2} + S_{3}}{t_{1} + t_{2} + t_{3}}

; для половин пути

v_{ср} = \frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}}

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 21: Средняя скорость и половины пути.

Прототипы банка ФИПИ: 4CD6F9, 582A73, 118EAD, 4CF0C4

Примеры с решением

Пример 1

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 14 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Ответ и решение

Ответ: 70

1Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь равен $2 s$ км. Тогда вторую половину пути второй автомобиль ехал со скоростью $x + 14$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Первый $x$ $\frac{2 s}{x}$ $2 s$
Второй, 1-я половина $60$ $\frac{s}{60}$ $s$
Второй, 2-я половина $x + 14$ $\frac{s}{x + 14}$ $s$
3Автомобили были в пути одинаковое время: $\frac{2 s}{x} = \frac{s}{60} + \frac{s}{x + 14}$ . Разделим обе части на $s > 0$ , откуда $\frac{2}{x} = \frac{1}{60} + \frac{1}{x + 14} .$
4Умножим обе части на $60 x (x + 14)$ , где $60 x (x + 14) \neq = 0$ , так как $x > 0$ : $120 (x + 14) = x (x + 14) + 60 x,$ $x^{2} - 46 x - 1680 = 0.$
5Дискриминант: $D = (- 46)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1680) = 8836 = 9 4^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{46 + 94}{2} = 70, x_{2} = \frac{46 - 94}{2} = - 24.$
6Корень $- 24$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость первого автомобиля равна $70$ км/ч.
7Ответ: 70 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Первый	$x$	$\frac{2 s}{x}$	$2 s$
Второй, 1-я половина	$60$	$\frac{s}{60}$	$s$
Второй, 2-я половина	$x + 14$	$\frac{s}{x + 14}$	$s$

Пример 2

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 63 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 22 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Ответ и решение

Ответ: 77

1Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь равен $2 s$ км. Тогда вторую половину пути второй автомобиль ехал со скоростью $x + 22$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Первый $x$ $\frac{2 s}{x}$ $2 s$
Второй, 1-я половина $63$ $\frac{s}{63}$ $s$
Второй, 2-я половина $x + 22$ $\frac{s}{x + 22}$ $s$
3Автомобили были в пути одинаковое время: $\frac{2 s}{x} = \frac{s}{63} + \frac{s}{x + 22}$ . Разделим обе части на $s > 0$ , откуда $\frac{2}{x} = \frac{1}{63} + \frac{1}{x + 22} .$
4Умножим обе части на $63 x (x + 22)$ , где $63 x (x + 22) \neq = 0$ , так как $x > 0$ : $126 (x + 22) = x (x + 22) + 63 x,$ $x^{2} - 41 x - 2772 = 0.$
5Дискриминант: $D = (- 41)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2772) = 12769 = 11 3^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{41 + 113}{2} = 77, x_{2} = \frac{41 - 113}{2} = - 36.$
6Корень $- 36$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость первого автомобиля равна $77$ км/ч.
7Ответ: 77 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Первый	$x$	$\frac{2 s}{x}$	$2 s$
Второй, 1-я половина	$63$	$\frac{s}{63}$	$s$
Второй, 2-я половина	$x + 22$	$\frac{s}{x + 22}$	$s$

Пример 3

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 20 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Ответ и решение

Ответ: 60

1Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь равен $2 s$ км. Тогда вторую половину пути второй автомобиль ехал со скоростью $x + 20$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Первый $x$ $\frac{2 s}{x}$ $2 s$
Второй, 1-я половина $48$ $\frac{s}{48}$ $s$
Второй, 2-я половина $x + 20$ $\frac{s}{x + 20}$ $s$
3Автомобили были в пути одинаковое время: $\frac{2 s}{x} = \frac{s}{48} + \frac{s}{x + 20}$ . Разделим обе части на $s > 0$ , откуда $\frac{2}{x} = \frac{1}{48} + \frac{1}{x + 20} .$
4Умножим обе части на $48 x (x + 20)$ , где $48 x (x + 20) \neq = 0$ , так как $x > 0$ : $96 (x + 20) = x (x + 20) + 48 x,$ $x^{2} - 28 x - 1920 = 0.$
5Дискриминант: $D = (- 28)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1920) = 8464 = 9 2^{2}$ . Корни: $x_{1} = \frac{28 + 92}{2} = 60, x_{2} = \frac{28 - 92}{2} = - 32.$
6Корень $- 32$ отрицательный и не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость первого автомобиля равна $60$ км/ч.
7Ответ: 60 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Первый	$x$	$\frac{2 s}{x}$	$2 s$
Второй, 1-я половина	$48$	$\frac{s}{48}$	$s$
Второй, 2-я половина	$x + 20$	$\frac{s}{x + 20}$	$s$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 21

Второй автомобиль: вторая половина известнапро
Два автомобиля в пробеге, один быстреесложный
Два рабочих выполняют одинаковый заказсложный
Две трубы заполняют резервуарсложный
Велосипедист туда и обратно с остановкойсложный
Лодка против течения и обратносложный
Поезд проезжает мимо пешеходасложный

Все 19 типов задания 21 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)