Задание 21 · часть 2 · 2 балла · сложный

Моторная лодка прошла против течения и вернулась обратно: задание 21 ОГЭ по математике

Против течения лодка идёт медленнее и тратит больше времени. Уравнение: $\frac{S}{v - u} - \frac{S}{v + u} = Δ t$ . После упрощения часто получается $v^{2} =$ число, например $v^{2} = 576$ , $v = 24$ . Отрицательный корень отбрось. Пример: 189 км, течение 3 км/ч, разница 2 ч дают $2 (x^{2} - 9) = 1134$ , $x^{2} = 576$ . Ловушка: вычитать времена в обратном порядке.

Все типы задания 21

Проверь себя · 1 из 3

Моторная лодка прошла против течения реки 80 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Как решать задание 21 ОГЭ: лодка против течения и обратно

Обозначь скорость лодки в стоячей воде.
Запиши скорости по течению и против.
Составь уравнение по разнице во времени.
Реши и отбери корень, больший скорости течения.

Где ошибаются. При вычитании дробей считают числитель как $189 \cdot 3$ . Верно $189 (x + 3) - 189 (x - 3) = 189 \cdot 6 = 1134$ : скорость течения входит дважды.

Как проверить ответ. Посчитай времена: против течения $189 : 21 = 9$ ч, по течению $189 : 27 = 7$ ч. Разница 2 ч, как в условии.

Правило

v_{по теч} = v + u

v_{против} = v - u

v_{плота} = u

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 21: Задачи на движение по реке: лодка, теплоход, плот.

Прототипы банка ФИПИ: 40EE48, D36026, 0C2857, 2C2BF0

Примеры с решением

Пример 1

Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 20

1Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ км/ч. Против течения лодка идёт со скоростью $x - 2$ км/ч, по течению со скоростью $x + 2$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Против течения $x - 2$ $\frac{297}{x - 2}$ $297$
По течению $x + 2$ $\frac{297}{x + 2}$ $297$
3На обратный путь (по течению) ушло на 3 часа меньше, откуда $\frac{297}{x - 2} - \frac{297}{x + 2} = 3.$
4Умножим обе части на $(x - 2) (x + 2)$ , где $(x - 2) (x + 2) \neq = 0$ , так как $x > 2$ (иначе лодка не смогла бы идти против течения): $297 (x + 2) - 297 (x - 2) = 3 (x^{2} - 4),$ $1188 = 3 x^{2} - 12, 3 x^{2} = 1200, x^{2} = 400.$
5Отсюда $x = 20$ или $x = - 20$ . Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $20$ км/ч.
6Ответ: 20 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Против течения	$x - 2$	$\frac{297}{x - 2}$	$297$
По течению	$x + 2$	$\frac{297}{x + 2}$	$297$

Пример 2

Моторная лодка прошла против течения реки 300 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 25

1Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ км/ч. Против течения лодка идёт со скоростью $x - 5$ км/ч, по течению со скоростью $x + 5$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Против течения $x - 5$ $\frac{300}{x - 5}$ $300$
По течению $x + 5$ $\frac{300}{x + 5}$ $300$
3На обратный путь (по течению) ушло на 5 часов меньше, откуда $\frac{300}{x - 5} - \frac{300}{x + 5} = 5.$
4Умножим обе части на $(x - 5) (x + 5)$ , где $(x - 5) (x + 5) \neq = 0$ , так как $x > 5$ (иначе лодка не смогла бы идти против течения): $300 (x + 5) - 300 (x - 5) = 5 (x^{2} - 25),$ $3000 = 5 x^{2} - 125, 5 x^{2} = 3125, x^{2} = 625.$
5Отсюда $x = 25$ или $x = - 25$ . Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $25$ км/ч.
6Ответ: 25 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Против течения	$x - 5$	$\frac{300}{x - 5}$	$300$
По течению	$x + 5$	$\frac{300}{x + 5}$	$300$

Пример 3

Моторная лодка прошла против течения реки 240 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ и решение

Ответ: 14

1Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ км/ч. Против течения лодка идёт со скоростью $x - 2$ км/ч, по течению со скоростью $x + 2$ км/ч.
2Запишем условие в таблицу:
Скорость, км/ч Время, ч Расстояние, км
Против течения $x - 2$ $\frac{240}{x - 2}$ $240$
По течению $x + 2$ $\frac{240}{x + 2}$ $240$
3На обратный путь (по течению) ушло на 5 часов меньше, откуда $\frac{240}{x - 2} - \frac{240}{x + 2} = 5.$
4Умножим обе части на $(x - 2) (x + 2)$ , где $(x - 2) (x + 2) \neq = 0$ , так как $x > 2$ (иначе лодка не смогла бы идти против течения): $240 (x + 2) - 240 (x - 2) = 5 (x^{2} - 4),$ $960 = 5 x^{2} - 20, 5 x^{2} = 980, x^{2} = 196.$
5Отсюда $x = 14$ или $x = - 14$ . Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи: скорость положительна. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $14$ км/ч.
6Ответ: 14 км/ч.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Против течения	$x - 2$	$\frac{240}{x - 2}$	$240$
По течению	$x + 2$	$\frac{240}{x + 2}$	$240$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 21

Теплоход со стоянкой: собственная скоростьсложный
Теплоход со стоянкой: скорость течениясложный
Баржа: разные пути туда и обратносложный
Поезд проезжает мимо пешеходасложный
Сколько сухих фруктов получитсясложный
Сколько нужно свежих фруктовсложный
Два сосуда с раствором кислотысложный

Все 19 типов задания 21 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)